ガラパゴ三辺比定理

みゆの三辺比定理（みゆのさんぺんひていり）とは、三角形の２辺のなす角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である場合の三辺比は２つの変数からなる代数式の比で表せる、ということを示す定理である。

概要

$$\theta~\mathrm{rad}$$ を内角を持つ三角形の三辺比は、次のように示すことができる。

$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta$$

いずれの辺も $$0$$ ではないとき、$$(x^2-y^2)$$ と $$(2xy-2y^2\cos\theta)$$ に対応する２辺の成す角の角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。ここでいう２辺の成す角度とは、正確には辺を延長した直線と直線の成す角度である。三角形の辺として注目する場合は、２辺の正負符号が同じ場合には内角、いずれか一方が負の場合には外角が、それぞれ $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。すなわち一方が負の場合の内角は $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となるが、これは辺の長さが負の値をとることによって内角と外角が入れ替わることに起因する。

導出

$$+1$$ と $$z=e^{i(\pi-\theta)}$$ を元とする基底空間において、内角の一つに $$\theta~\mathrm{rad}$$ をもつ三角形を想定する。

角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である内角の対辺を $$x+yz$$ で表現すると、ここに見いだされる三角形の三辺比は、

$$x$$ ： $$y$$ ： $$|x+yz|$$

であるが、$$x$$ と $$y$$ に対応する辺の狭角は $$\theta~\mathrm{rad}$$ であるため、余弦定理を用いることで

$$x$$ ： $$y$$ ： $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$

と書き改めることができる。すなわち

$$|x+yz|=\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$

である。ここに示される三角形にの $$|x+yz|$$ に対応する辺に対し、

$$x$$ に対応する辺との狭角を２倍して得られる直線は

$$(x+yz)\times(x+yz)=x^2+y^2z^2+2xyz$$

を通る。（ガラパゴ数学の乗算の項を参照）

この座標はみゆの累乗恒等式を用いることで \begin{align} (x+yz)^2=&x^2+y^2(2z\cos(\pi-\theta)-1)+2xyz\\ =&x^2+y^2(-2z\cos\theta-1)+2xyz\\ =&(x^2-y^2)+(2xy-2y^2\cos\theta)z\\ \end{align} と $$z$$ の一次式の形で表すことができる。ここで示される新たな三角形の三辺比は

$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$|x+yz|^2$$

であり、先程の余弦定理を用いた表現に書き改めると

$$x^2-y^2$$ : $$2xy-2y^2\cos\theta$$ ： $$x^2+y^2-2xy\cos\theta$$

となる。この比率は２辺の成す角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である三角形の三辺比といえる。

ファイル:みゆの三辺比定理.png

みゆの三辺比恒等式

みゆの三辺比定理で示される三角形に対して余弦定理を用いることで、以下の恒等式を導くことができる。

$$(x^2+y^2-2xy\cos\theta)^2=(x^2-y^2)^2+(2xy-2y^2\cos\theta)^2-2(x^2-y^2)(2xy-2y^2\cos\theta)\cos\theta$$

拡張ピタゴラス数

$$\cos\theta$$ が有理数値であるような内角を持つ三角形の三辺比は、みゆの三辺比定理を用いて整数比で表すことができる。

内角の一つが $$\theta=~\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}~(90^{\circ})$$ である三角形の三辺比

$$x^2-y^2$$ ： $$2xy$$ ： $$x^2+y^2$$

内角の一つが $$\theta=~\frac{\pi}{3}~\mathrm{rad}~(60^{\circ})$$ である三角形の三辺比

$$x^2-y^2$$ ： $$2xy-y^2$$ ： $$x^2+y^2-xy$$

内角の一つが $$\theta=~\frac{2\pi}{3}~\mathrm{rad}~(120^{\circ})$$ である三角形の三辺比

$$x^2-y^2$$ ： $$2xy+y^2$$ ： $$x^2+y^2+xy$$

ただし辺の長さが負の値をとる場合、内角と外角が入れ替わることで視覚上の内角が $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となることに注意が必要である。