「利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究」の版間の差分

2022年5月17日 (火) 06:45時点における版

$ p_n $で$ n $番目の素数を表す。また、$ \log $は全て自然対数である。

1 予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない
- 1.1 p=6a+1のとき
- 1.2 p=6a-1のとき
2 予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない
- 2.1 p=6a+1のとき
- 2.2 p=6a-1のとき
3 定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない
4 予想: $ a > 1 $を定数とする。$ N = p_n# M $、ただし$ M $の最大素因数は$ p_{an} $以下、と表されるような$ N $のうち、素微分友愛数$ a $ごとに有限個しかない
- 4.1 補題
- 4.2 証明

予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする

(2p)'=p+2である

p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくる

pを6で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になる

2a+1=bとおくと2p=(2p)''=(2a+1)+3b'となる

これが偶数ということはb'は奇数

b'=2c+1とすると

a+3c+2=pである

p=6a+1と仮定したのでa%3=2

a=3d+2とする(このときp=18d+13である)

3d+3c+4=pである

このとき明らかにc+dは奇数

p=6a-1のとき

p+2=6a+1は奇数

予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする

(5p)'=p+5である

p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる

かなりえぐい

pを5で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+5=6a+6=2・3(a+1)

(p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)'

すなわち6(a+1)'=a+1である

a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする

このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから

6(a+1)'=30b+36b'>6b=a

よって矛盾が生じた

p=6a-1のとき

p%4=1なのでp=12b+5と書ける

p+5=2(6b+5)は偶数

6b+5=cとおくと(5p)''=(6b+5)+2c'となる

定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない

素数定理

Rosser's Theoremによると、$ n $番目の素数は$ n \log{n} $より大きい。

また、$ n \geq 6 $のとき、$ n $番目の素数は$ n (\log{n} + \log{\log{n}}) $より小さいことが知られている。

$ n (\log{n} + \log{\log{n}}) < 2n \log{n} $であることは容易にわかる。また、数値計算と合わせて$ p_n < 2n \log{n} $が$ n \geq 3 $で成り立つことが分かる。

証明

10番目(29#)までの素数階乗は実験により素微分友愛数でないことが確かめられる

$ n \geq 11 $とする

N=(n番目の素数階乗)について考えその大きさを評価する

$ N < (2n \log{n})^n $である

$ \begin{align*} & N' \\ <& \frac{1}{2} \cdot (2n \log{n})^n \cdot n \\ =& 2^{n-1} \cdot (\log{n})^n \cdot n^{n+1} \\ =& n^{n+1 + (n-1)\log_n{2} + n\log_n{\log{n}}} \\ <& n^{n+1 + n\log_n{(2\log{n})}} \\ <& n^{n+1 + n\log_n{(2n^{0.37})}} (\because \log{n} \leq n^{\frac{1}{e}}) \\ <& n^{n+1 + 0.37n + n\log_n{2}} \\ <& n^{n+0.1n + 0.37n + 0.29n} \\ <& n^{1.76n} \end{align*} $

$ N' $の素因数は$ n $より大きいので、素因数は最大でも$ 1.76n $個しか持たない

よって$ N' $の素因数の逆数の総和を$ T $とすると

$ 0 < T < \frac{1.76n}{n\log{n}} = \frac{1.76}{\log{n}} $

が成り立つ

また$ N $の素因数の逆数の総和を$ S $とすると

$ \begin{align*} & S \\ <& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p_n} \\ \leq & \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \sum_{k=11}^n \frac{1}{n\log{n}} \\ <& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \int_{10}^n \frac{1}{x\log{x}} dx (\because \frac{1}{x\log{x}}は単調減少) \\ =& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \log{\log{n}} - \log{\log{10}} \\ <& \log{\log{n}} + 0.7 \\ \end{align*} $

であるから

$ S \cdot T < \frac{1.76}{\log{n}}(\log{\log{n}} + 0.7) $

である。

$ f(x) = \frac{1.76}{\log{x}}(\log{\log{x}} + 0.7) $

とおくと、

$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{1.76(\log{\log{x}}-0.3)}{x(\log{x})^2} $

であるから、$ x > 4 > e^{e^{0.3}} $で$ f(x) $は単調減少である。

数値計算によると$ x \geq 30 $で$ f(x) < 1 $となるから矛盾。

よって$ 29 $番目の素数階乗まで調べればよい。わんだほーい！！！

実験

コード

$ \left(p_n\#\right)' $を計算するPython3のコード

# coding: utf-8
# Your code here!

import sympy

n = 10

primes = []

for i in range(n*n):
    if sympy.isprime(i):
        primes.append(i)
    if len(primes) == n:
        break

total = 0

for p1 in primes:
    term = 1
    for p2 in primes:
        if p1 != p2:
            term *= p2
    total += term

print(total)
print(sympy.factorint(total))

判定法

$ 29 $番目までの素数の逆数和が$ 2 $に満たないこと、$ \frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{23} < 0.5 $であることから、$ 5\# $以降について、素因数が6個以下であれば素微分友愛数ではないことがわかる。

結果

(2#)'=1=1
(3#)'=5=5
(5#)'=31=31
(7#)'=247=13×19
(11#)'=2927=2927
(13#)'=40361=40361
(17#)'=716167=19×37693
(19#)'=14117683=37×381559
(23#)'=334406399=43×163×47711
(29#)'=9920878441=269×36880589
(31#)'=314016924901=61×4253×1210397
(37#)'=11819186711467=79×82913×1804421
(41#)'=492007393304957=2683561×183341237
(43#)'=21460568175640361=47×456607833524263
(47#)'=1021729465586766997=1559×655374897746483
(53#)'=54766551458687142251=1701437×32188409831623
(59#)'=3263815694539731437539=1087×3002590335363138397
(61#)'=201015517717077830328949=201015517717077830328949
(67#)'=13585328068403621603022853=13585328068403621603022853
(71#)'=972416614407737400870501653=653×24310877×61254579539162813
(73#)'=71544353681891529224514036059=79×905624730150525686386253621
(79#)'=5692733621468679832887230172131=5692733621468679832887230172131
(83#)'=475714535349241099037539188841003=6991×17117×31727×125299823719985846887
(89#)'=42605658161771733665696611824842057=128427649157×331748330218886478419701
(97#)'=4156517583588203716343221884611037839=11887×349669183443106226663011851990497
(101#)'=422113843906354093775418512493046577809=2549×165599781838506902226527466650861741
(103#)'=43710588286712969019768170103664304877397=20831283974697087833×2098314647325937289309
(107#)'=4701017770207212913287900722730772880277689=109×25013×45090757000504693×38239489461719284069
(109#)'=514977313070181206962860776592994315598662571=155963971×3301899212800764139064276432106196601

以上より示された。

予想: $ a > 1 $を定数とする。$ N = p_n# M $、ただし$ M $の最大素因数は$ p_{an} $以下、と表されるような$ N $のうち、素微分友愛数$ a $ごとに有限個しかない

補題

補題1

$ x > 1, y \geq 1 $のとき$ \log(x+y) < \log(x) + \frac{y}{x} $

$ y $の関数$ \log(x+y) $は上に凸なので$ \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} $が従う

補題2

$ x > 1, y \geq 1 $のとき

$$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$

補題3

$ n \geq 3 $とする

$ \begin{align*} & \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_k} \\ =& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{p_k} \\ <& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k\log{k}} \\ <& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \int_{k-1}^k \frac{1}{x\log{x}} dx \\ =& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} (\log{\log{k}} - \log{\log{(k-1)}}) \\ =& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{n}} - \log{\log{2}} \\ <& \log{\log{n}} + 1.2 \end{align*} $

証明

$ n \geq a $としてよい

$ p_n# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} $であるから

$ \begin{align*} & N' \\ <& \frac{1}{2} \cdot (2an \log{an})^{an} \cdot (an) \\ =& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a}+\log{n})^{an} \cdot an \\ <& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\ <& n^{(an-1) + 2an + an(\log_n(2\log{n})) + 2} \\ <& n^{(an-1) + 2an + an + 2} \\ =& n^{4an+1} \\ \end{align*} $

であるから$ N' \)の素因数の個数は$ 4an $個以下である。また、$ N' $の素因数は全て$ p_{n+1} $以上であるから、$ N' $の素因数の逆数の総和を$ T $とすると、

$$ T < \frac{4an+1}{n\log{n}} = \frac{4a + \frac{1}{n}}{\log{n}}$$

である。また、$ N $の素因数の逆数の総和を$ S $とすると、

$ \begin{align*} & S \\ <& \sum_{k=1}^{an} \frac{1}{p_k} \\ <& \log{\log{an}} + 1.2 \end{align*} $

よって

$ S \cdot T < \frac{4a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) $

であり、これは$ \lim_{n \rightarrow \infty} \}で\( 0 $に収束する。Q.E.D.

あとで行間を埋める

「利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究」の版間の差分

2022年5月17日 (火) 06:45時点における版

目次

予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない

p=6a+1のとき

p=6a-1のとき

予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない

p=6a+1のとき

p=6a-1のとき

定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない

素数定理

証明

実験

コード

判定法

結果

予想: \( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n# M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数\( a \)ごとに有限個しかない

補題

補題1

補題2

補題3

証明

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@@ 212行目: / 212行目: @@
 以上より示された。
-==予想: 「飛び」ごとに素微分友愛数は高々有限個しか存在しない==
+==予想: \( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n# M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数\( a \)ごとに有限個しかない==
-成り立つか怪しい
 ===補題===
@@ 230行目: / 228行目: @@
 $$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$
-===定義===
+====補題3====
-無平方数\( n \)の最大の素因数を\( p_m \)とし、\( n \)の素因数の個数を\( k \)とするとき、\( n \)の「飛び」を\( m - k \)と定義する。
+\( n \geq 3 \)とする
-直感的には、最大の素因数までで「飛ばされた」素因数の個数である。
+\( \begin{align*}
+& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_k} \\
-たとえば、素数階乗の飛びは0であり、2×5×13の飛びは3である。
+=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{p_k} \\
+<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k\log{k}} \\
+<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \int_{k-1}^k \frac{1}{x\log{x}} dx \\
+=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} (\log{\log{k}} - \log{\log{(k-1)}}) \\
+=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{n}} - \log{\log{2}} \\
+<& \log{\log{n}} + 1.2
+\end{align*} \)
 ===証明===
-飛びを\( a \)とし、これを固定する。また、\( N \)を飛びが\( a \)であるような無平方数とする
+\( n \geq a \)としてよい
-任意の正の数\( \varepsilon \)に対し、\( n > m \)ならば\( 2(n+a)\log{(n+a)} < n^{1+\varepsilon} \)となるような\( m \)が存在するので
-このような最小の自然数\( m \)を\( L_1 \)と書くことにする
-\( L_1 \)は\( \varepsilon \)と\( a \)に依存することに注意せよ
-以下、\( n \geq L_1 \)とする
-\( N \)に含まれる素因数が\( n \)個であるとする
-このとき、\( N \)の最大の素因数は\( p_{n+a} \)であるから
-$$ N' < \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^n \cdot n < \frac{1}{2} n^{n(1+\varepsilon)+1} < n^{n(1+\varepsilon)+1} $$
-であるから、\( N' \)は\( p_{n+a} \)以降の素因数を最大でも\( n(1+\varepsilon)+1 \)個しか持たない
-よって\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると
-$$ \sum_{k=1}^{n+a} \frac{1}{p_n} < \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{(n+a)}} - \log{\log{2}} < \log{\log{(n+a)}} + 1.2 < \frac{a}{n\log{n}} + 1.2 $$
-であるから
-<font size="6">これ以下書き直し。定理自体はたぶんあってる</font>
-\( 0 < T < \log{\log{(n+a)}} + 1.2 + \frac{n(1+\varepsilon)+1}{n\log{n}} \leq \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{n}} + \frac{a}{n\log{n}} + 1.2 \)
-が成り立つ
-<font color="#FF0000">+1.2が厄介だ。1/lognオーダーになることを示そうとしているのに定数が出てくるのはまずい</font>
-また\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると
-$$ 0 < S < \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \log{\log{(n+a)}}$$
-が成り立つ
-$$ f(x) = \left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + 2\log{\log{x}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}} \right) $$
-とし、
-$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = 1.2 + \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \frac{2a}{L_1\log{L_1}}$$
-とすると
-$$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A(B-2+2\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2} $$
-であるから、\( L_2 = \mathrm{ceil}(e^{e^{2-B}}) \)とすると
-\( x \geq L_2 \)であれば\( f(x) \)は単調減少である
-また、\( \lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = 0 \)なので、ある\( L_3 \)が存在して\( x \geq L_3 \Rightarrow f(x) < 1 \)が成り立つ。
-よって、\( n \geq \max(L_2,L_3) \)のとき、\( N \)は素微分友愛数ではない。
-===数値計算のために===
-\( a \)を固定し、\( \varepsilon \)を増やすと、\( L_1 \)と\( L_2 \)は増加し、\( L_3 \)は減少する。上記の定理から、\( x < \max(L_1, L_2, L_3) \)のときだけを調べればよい。よって、\( \max(L_1, L_2, L_3)) \)が最小となるように\( \varepsilon \)を取れば最適にできる。
-<font size="6">これ以下書き直し。定理の主張には影響しない</font>
-====Pythonのコード====
-aの値は1個ずつにしないとPaizaがタイムアウトするので注意
-<pre>
-# coding: utf-8
-# Your code here!
-from scipy.special import lambertw
+\( p_n# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} \)であるから
-import numpy as np
-def f1(x, a, e):
+\( \begin{align*}
-    return 2 * (x + a) * np.log(float(x))
+& N' \\
+<& \frac{1}{2} \cdot (2an \log{an})^{an} \cdot (an) \\
+=& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a}+\log{n})^{an} \cdot an \\
+<& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\
+<& n^{(an-1) + 2an + an(\log_n(2\log{n})) + 2} \\
+<& n^{(an-1) + 2an + an + 2} \\
+=& n^{4an+1} \\
+\end{align*} \)
-def f2(x, a, e):
+であるから$ N' \)の素因数の個数は\( 4an \)個以下である。また、\( N' \)の素因数は全て\( p_{n+1} \)以上であるから、\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると、
-    return x ** (1 + e)
-def f3(x, a, b, e):
+$$ T < \frac{4an+1}{n\log{n}} = \frac{4a + \frac{1}{n}}{\log{n}}$$
-    return (a / np.log(float(x))) * (b + np.log(np.log(float(x + e))))
-def getls(a, e):
+である。また、\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると、
-    l1 = 0
-    if a > 0:
-        l1bottom = 10
-        l1top = 20 # e^eより大きい値をセットする
-        while f1(l1top, a, e) > f2(l1top, a, e):
-            l1bottom *= 2
-            l1top *= 2
-        while l1top - l1bottom > 1:
-            l1mid = (l1bottom + l1top) // 2
-            if f1(l1mid, a, e) > f2(l1mid, a, e):
-                l1bottom = l1mid
-            else:
-                l1top = l1mid
-        if f1(l1bottom, a, e) > f2(l1bottom, a, e):
-            l1 = l1top
-        else:
-            l1 = l1bottom
-    else:
-        l1 = 2
-    capbbottom = 1 / 2 + 1 / 3 + (1 / 2 * (np.log(np.log(float(l1))) - np.log(np.log(2.0)))) - np.log(np.log(float(l1)))
-    capbtop = 1 / 2 + 1 / 3 + (np.log(np.log(float(l1))) - np.log(np.log(2.0))) - np.log(np.log(float(l1)))
-    l2top = int(np.exp(np.exp(1 - capbbottom))) + 1
-    capa = 1 + e + 1 / l1
-    capb = capbtop
-    l3bottom = l2top
+\( \begin{align*}
-    l3top = l3bottom * 2
+& S \\
+<& \sum_{k=1}^{an} \frac{1}{p_k} \\
-    while f3(l3top, capa, capb, e) > 1:
+<& \log{\log{an}} + 1.2
-        l3top *= 2
+\end{align*} \)
-    while l3top - l3bottom > 1:
-        l3mid = (l3bottom + l3top) // 2
-        if f3(l3mid, capa, capb, e) > 1:
-            l3bottom = l3mid
-        else:
-            l3top = l3mid
-    if f3(l3bottom, capa, capb, e) > 1:
-        l3 = l3top
-    else:
-        l3 = l3bottom
-    return [l1, l2top, l3]
-for a in range(1, 11):
+よって
-    minl = 1000
-    mine = 0
-    minls = []
-    for e in np.linspace(0.1, 1.0000, 9001):
-        ls = getls(a, e)
-        l = max(ls[0], ls[1], ls[2])
-        if minl > l:
-            minl = l
-            mine = e
-            minls = ls
-    print(f"<tr><td>{a}</td><td>{mine}</td><td>{minls[0]}</td><td>{minls[1]}</td><td>{minls[2]}</td></tr>")
-</pre>
-====結果====
+\( S \cdot T < \frac{4a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) \)
-<table border="1">
-<tr>
-<th>\( a \)</th><th>\( \varepsilon \)</th><th>\( L_1 \)</th><th>\( L_2 \)</th><th>\( L_3 \)</th>
-</tr>
-<tr><td>1</td><td>0.5239</td><td>55</td><td>8</td><td>54</td></tr>
-<tr><td>2</td><td>0.5283</td><td>55</td><td>8</td><td>55</td></tr>
-<tr><td>3</td><td>0.5312</td><td>56</td><td>8</td><td>56</td></tr>
-<tr><td>4</td><td>0.5338</td><td>57</td><td>8</td><td>57</td></tr>
-<tr><td>5</td><td>0.5378</td><td>57</td><td>8</td><td>57</td></tr>
-<tr><td>6</td><td>0.5401</td><td>58</td><td>8</td><td>58</td></tr>
-<tr><td>7</td><td>0.5422</td><td>59</td><td>8</td><td>58</td></tr>
-<tr><td>8</td><td>0.5459</td><td>59</td><td>8</td><td>59</td></tr>
-<tr><td>9</td><td>0.5478</td><td>60</td><td>8</td><td>60</td></tr>
-<tr><td>10</td><td>0.5495</td><td>61</td><td>8</td><td>60</td></tr>
-</table>
-・・・数値が非常にsusである。<s>susすぎてsus4になりそう</s>
+であり、これは\( \lim_{n \rightarrow \infty} \}で\( 0 \)に収束する。Q.E.D.
-Desmosで確かめたところあってそうである。なんでa=0のとき30まで下げられたんだろう
+あとで行間を埋める