利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展

定義

\( ' \)は全て素微分を意味するものとする。

\( m \neq m' \)かつ\( m = m'' \)であるとき、\( m \)を素微分友愛数であるという。

また、簡単のため\( (m, m') \)の組を素微分友愛数であるということもある。

結果

• 結果1: \( n \)が素微分友愛数であるとき、\( n \)は平方因子を持たない。証明
• 結果2: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)は互いに素である。証明
• 結果3: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、\( p \)と\( q \)の素因数の個数は合計で60個以上である。証明
  • 系3-1: \( (p, q) \)が素微分友愛数の組のとき、もし\( p \)と\( q \)がともに奇数であれば、\( p \)と\( q \)の素因数の個数は合計で1412個以上である。証明
• 結果4: 素数階乗は素微分友愛数にならない。証明
• 結果5: 素微分友愛数nがn=pqと奇素数の積で表されるとき、(p,q)≡(1,1)or(3,3)(mod4)証明

証明

結果1

(マリポーサ様)

正整数nがn=n"となると仮定する。

nのある素因数pについて、n=p^im(mはpで割り切れない)と表すとすると、i<pでなければならない。

いまM=im+pm'とおく。

n'=p^(i-1)M

n"=(i-1)p^(i-2)M+p^(i-1)M'

n=n''より両辺をp^(i-2)で割って、

p^2m=(i-1)M+pM'⇔p*(pm-M')=(i-1)M

pは素数でi-1<pだからi-1はpで割り切れないので、M=im+pm'はpで割り切れる。

M/p=(im)/p+m'だが、i,mはともにpで割り切れないので不合理。

ゆえにn=n''は存在しない。

結果2

(広く知られている)

無平方数\( n \)の素因数分解が\( n = p_1p_2 \cdots p_m \)であるとき、

\( n' = \sum_{i=1}^m \left(p_1,p_2,\cdots,p_mからp_iを除いたものの総積\right) \)

である。\( p_k \)について考えると、右辺の和のうち\( i = k \)の項だけが\( p_k \)の倍数でなく、残りは全て\( p_k \)の倍数である。

\( k \)は\( 1 \leq k \leq m \)の範囲で任意に取れるので、\( n' \)は\( n \)のどの素因数の倍数でもない。よって、\( n \)と\( n' \)は互いに素である。

結果3

(凍み豆腐程度の能力様)

AMGMより素微分友愛数m,nに含まれる素因数の逆数の総和は2より大きくならないといけなくて

(最初の59個の素数の逆数和は2より小さく、最初の60個の素数の逆数和は2より大きいことを数値計算で確認する)

というわけでごり押しの結果、m,nに含まれる素因数の個数の合計は少なくとも60個であることが判明しました

系3-1

(Nayuta ItoによるPython3のコード)

import sympy

total = 0
count = 0

for n in range(3, 100000):
    if sympy.isprime(n):
        total += 1 / n
        count += 1
        if 1.999 < total and total < 2.001:
            print(n, count, total)

結果5

(マリポーサ様)

いまnが素微分友愛数であるとすると、n 'もまた素微分友愛数。

なぜならn→n'→n→n'→…とループするからである。

そして素微分友愛数nは平方因子を持たない。

よってn=pqが素微分友愛数であるなら、n'=p+qは平方因子を持たない。

p,qは奇素数より、4で割って2余るか0余ることはない。

(p,q)≡(1,3)or(3,1)(mod4)であると仮定するとp+q≡0(mod4)となり、平方因子を持たないことに反する。

以上より示された。