ガラパゴ累乗定理

ガラパゴ累乗定理（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$r=z+\bar{z}$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いた漸化式より得られる数列 $$A_n$$ を用いて $$+1$$ と $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。

ガラパゴ数学の主定理の一つで、$$+1$$ と $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 斜交平面上の幾何を扱うことを主目的として みゆ によって導出された。

概要

複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ と $$l=-z\cdotp\bar{z}=-|z|^2$$ を用いて次のように表せる。

$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~ \begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})r+(A_{k-2})l \end{cases}$$ として

$$z^n=(A_{n})z+(A_{n-1})l\\$$

$$\begin{array}{l} z^1=&z\\ z^2=&rz+l\\ z^3=&(r^2+l)z+rl\\ z^4=&(r^3+2rl)z+(r^2+l)l\\ z^5=&(r^4+3r^2l+l^2)z+(r^3+2rl)l\\ &\quad\quad\quad\vdots\\ \end{array}$$

$$z^n=\displaystyle\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}r^{n-2k-2}l^{k}\right]l$$

特に、 $$z=e^{i\theta}$$ のとき、$$r=2\cos\theta$$、$$l=-1$$ であることから

$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\theta&-1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~ \begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})(2\cos\theta)-(A_{k-2}) \end{cases} $$ として

$$z^n=A_{n}z-A_{n-1}$$

$$\begin{array}{l} z^1&=z&\\ z^2&=rz-1&=(2\cos\theta)z-1\\ z^3&=(r^2-1)z-r&=[(2\cos\theta)^2-1]z-(2\cos\theta)\\ z^4&=(r^3-2r)z-(r^2-1)&=[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z-[(2\cos\theta)^2-1]\\ z^5&=(r^4-3r^2+1)z-(r^3-2r)&=[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1]z-[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]\\ &\quad\quad\quad\vdots\\ \end{array}$$

$$z^n=\displaystyle\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-2}\right]$$

導出

$$\{z\in\mathbb{C}\}$$ において、$$\mathbb{R}^2$$ 上の複素数 $$z$$ を次のように二乗する。

\begin{align*} z^2=&z\cdot z\\ =&((z+\bar{z})-\bar{z})z\\ =&(z+\bar{z})z-\bar{z}\cdotp z\\ \end{align*}

ここで、$$r=(z+\bar{z})$$、$$l=-\bar{z}\cdotp z$$ と置くと

\begin{align*} z^2=rz+l \end{align*}

両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=rz^2+lz$$ となり、右辺に $$z^2=rz+l$$ を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を同形へと帰結させることで漸化式を得る。

またこの導出手順は、分配則や結合則を満たし共役同士の和と積を求めることができる数（四元数など）であれば $$z\in\mathbb{C}$$ の範囲に限らず適用可能であることを示している。

幾何への応用

複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ において、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍だけ $$\vec{t}$$ を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\vec{t'}$$ は、$$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。

ガラパゴ三辺比定理

ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle OAB$$ において、長さが $$x$$ の辺 $$OA$$ と 長さが $$y$$ の辺 $$AB$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、辺 $$OB$$ を $$O$$ を中心として $$\angle O$$ の偶数倍回転させ、それに伴って各辺の長さを伸縮（負数倍も可）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$r=2\cos\theta$$ の整式で表せるという定理である。本定理を用いることで容易に導出できるが、詳しくはガラパゴ三辺比定理を参照のこと。

ガラパゴ三角関数

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ の示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。

$$e^{xz}=\cos(x,z)+z\sin(x,z)$$

これらの関数 $$\cos(x,z)$$ と $$\sin(x,z)$$ のマクローリン展開形は、本定理によって示すことが可能である。詳しくはガラパゴ三角関数を参照のこと。

黄金数・フィボナッチ数列との関係性

黄金数を $$z=\phi^{\pm1}=\left(\frac12\right)+\left(\pm\frac{\sqrt{-5}}{2}\right)i$$ と解釈して本定理を適用すると

$$r=2\times\frac12=1$$

$$l=-\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=-\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=1$$

であるため、本定理に従って

$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~ \begin{cases} A_0=0\\ A_1=1\\ A_{k}=(A_{k-1})+(A_{k-2}) \end{cases}$$

という数列を用いた漸化式を想定できる。

$$z^n=A_{n}z+A_{n-1}$$

この $$A_n$$ はフィボナッチ数列と同一であり、黄金数とフィボナッチ数列の関係式

$$\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}$$

とも一致する。