「三次関数の極値」の版間の差分
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| + | 三次関数\[y=f(x)\]の極値を考える。 | ||
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| + | と多項式の割り算によって変形ができる。 | ||
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| + | 二次方程式 $$f'(x)=0$$ の解は簡単に求まるが、この解を代入するに当たり、上の式は一次式ほどの労力しか要しない。 | ||
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| + | $$f'(x)=0$$ の解を $$\alpha$$ として、極値 $$y$$ は | ||
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| + | $$f(x)=0$$ の解を | ||
| + | $$\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$$ とおく。 | ||
| + | \[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\] | ||
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| + | 三次関数の点対称性を用いると、 | ||
| + | \[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2 | ||
| + | =f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\] | ||
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| + | $$f(\alpha)+f(\beta)$$ | ||
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| + | を考える。 | ||
| + | 以下のように変形を行う。 | ||
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| + | f(\alpha)-f(\beta) | ||
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| + | &=& \frac a6(\beta-\alpha)^3 | ||
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| + | \displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2 | ||
| + | =f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\\ | ||
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| + | $$\alpha,\beta$$ は二次方程式の解なので、和や差については特に簡単に求めることができる。 | ||
| + | よって、これを連立することによって | ||
| + | $$f(\alpha),f(\beta)$$ | ||
| + | を簡単に求めることができる。 | ||
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| + | \[f'(x)=ax^2+bx+c\]として、 | ||
| + | また 二次方程式 $$f'(x)=0$$ | ||
| + | の判別式を $$D$$ とおくと、 | ||
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| − | + | \displaystyle f(\alpha)+f(\beta) | |
| − | + | =2\cdot f\left(\frac12\cdot\frac{-b}a\right)\\ | |
| + | \displaystyle f(\alpha)-f(\beta) | ||
| + | =\frac a6\left(\frac{\sqrt D}a\right)^3 | ||
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| − | + | \[f(\alpha),f(\beta) | |
| + | =f\left(-\frac b{2a}\right)\pm | ||
| + | \frac{D^{\frac32}}{12a^2}\] | ||
2019年12月12日 (木) 13:15時点における最新版
三次関数\[y=f(x)\]の極値を考える。
すなわち \begin{cases} y = f(x)\quad &(三次式)\\ 0 = f'(x)\quad &(二次式) \end{cases} となる $$y$$ を求めることになる。
初級
$$f(x)$$ は三次式、 $$f'(x)$$ は二次式 であるので \[f(x)=(一次式)\cdot f'(x)+ax+b\] と多項式の割り算によって変形ができる。
二次方程式 $$f'(x)=0$$ の解は簡単に求まるが、この解を代入するに当たり、上の式は一次式ほどの労力しか要しない。
よって比較的簡単に極値を求めることができる。
$$f'(x)=0$$ の解を $$\alpha$$ として、極値 $$y$$ は \[y=a\cdot\alpha + b\] となる。
中級
$$x$$ の二次方程式 $$f(x)=0$$ の解を $$\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$$ とおく。 \[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\] とできる。
三次関数の点対称性を用いると、 \[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2 =f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\]
$$f(\alpha)+f(\beta)$$ が求まったので、 $$f(\alpha)-f(\beta)$$ を考える。 以下のように変形を行う。 \begin{eqnarray*} f(\alpha)-f(\beta) &=& \int_\beta^\alpha f'(x)dx\\ &=& \int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ &=& \frac a6(\beta-\alpha)^3 \end{eqnarray*}
まとめると \begin{cases} \displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2 =f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\\ \displaystyle f(\alpha)-f(\beta) =\frac a6(\beta-\alpha)^3 \end{cases} $$\alpha,\beta$$ は二次方程式の解なので、和や差については特に簡単に求めることができる。 よって、これを連立することによって $$f(\alpha),f(\beta)$$ を簡単に求めることができる。
\[f'(x)=ax^2+bx+c\]として、
また 二次方程式 $$f'(x)=0$$
の判別式を $$D$$ とおくと、
\begin{cases} \displaystyle f(\alpha)+f(\beta) =2\cdot f\left(\frac12\cdot\frac{-b}a\right)\\ \displaystyle f(\alpha)-f(\beta) =\frac a6\left(\frac{\sqrt D}a\right)^3 \end{cases} \[f(\alpha),f(\beta) =f\left(-\frac b{2a}\right)\pm \frac{D^{\frac32}}{12a^2}\]
