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すなわち
\begin{cases}
y=f(x)\quad&(三次式)\\ 0=f'(x)\quad&(二次式)
\end{cases}
となる $$(x,y)$$ を求めることになる。
==初級==
$$f(x)$$ は三次式、
$$f'(x)$$ は二次式
であるので
\[f(x)=(一次式)\cdot f'(x)+ax+b\]と割り算によって変形ができる。と多項式の割り算によって変形ができる。
二次方程式 $$f'(x)=0$$ の解は簡単に求まるが、この解を代入するに当たり、上の式は一次式ほどの労力しか要しない。
よって比較的簡単に極値を求めることができる。
$$f'(x)=0$$ の解を $$\alpha$$ として、極値 $$y$$ は
\[y=a\cdot\alpha + b\]
となる。
==中級==
$$x$$ の二次方程式
$$f(x)=0$$ の解を
$$\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$$ とおく。
\[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\]
とできる。
三次関数の点対称性を用いると、
\[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2
=f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\]
$$f(\alpha)+f(\beta)$$
が求まったので、
$$f(\alpha)-f(\beta)$$
を考える。
以下のように変形を行う。
\begin{eqnarray*}
f(\alpha)-f(\beta)
&=& \int_\beta^\alpha f'(x)dx\\
&=& \int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\
&=& \frac a6(\beta-\alpha)^3
\end{eqnarray*}
まとめると
\begin{cases}
\displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2
=f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\\
\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)
=\frac a6(\beta-\alpha)^3
\end{cases}
$$\alpha,\beta$$ は二次方程式の解なので、和や差については特に簡単に求めることができる。
よって、これを連立することによって
$$f(\alpha),f(\beta)$$
を簡単に求めることができる。
\[f'(x)=ax^2+bx+c\]として、
また 二次方程式 $$f'(x)=0$$
の判別式を $$D$$ とおくと、
\begin{cases}
\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)
=2\cdot f\left(\frac12\cdot\frac{-b}a\right)\\
\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)
=\frac a6\left(\frac{\sqrt D}a\right)^3
\end{cases}
\[f(\alpha),f(\beta)
=f\left(-\frac b{2a}\right)\pm
\frac{D^{\frac32}}{12a^2}\]