差分

極値を求めるのは、すなわち$$f(x)$$ は三次式、$$f'(x)$$ は二次式であるので\[f(x)=(一次式)\cdot f'(x)+ax+b\]と多項式の割り算によって変形ができる。 二次方程式 $$f'(x)=0$$ の解は簡単に求まるが、この解を代入するに当たり、上の式は一次式ほどの労力しか要しない。 よって比較的簡単に極値を求めることができる。 $$f'(x)=0$$ の解を $$\alpha$$ として、極値 $$y$$ は\[y=a\cdot\alpha + b\]となる。 ==中級==$$x$$ の二次方程式$$f(x)=0$$ の解を$$\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$$ とおく。\[f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)\]とできる。 三次関数の点対称性を用いると、\[\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2=f\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\] $$f(\alpha)+f(\beta)$$が求まったので、$$f(\alpha)-f(\beta)$$を考える。以下のように変形を行う。\begin{caseseqnarray*} yf(\alpha)-f(\beta)&=& \int_\beta^\alpha f'(x)dx\\&=& \int_\beta^\alpha a(x-\alpha)(x-\beta)dx\\ 0&=& \frac a6(\beta-\alpha)^3\end{eqnarray*} まとめると\begin{cases}\displaystyle\frac{f(\alpha)+f(\beta)}2=f'\left(\frac{\alpha+\beta}2\right)\\\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)=\frac a6(x\beta-\alpha)^3\end{cases*}となる$$\alpha,\beta$$ は二次方程式の解なので、和や差については特に簡単に求めることができる。よって、これを連立することによって$$f(\alpha),f(\beta)$$を簡単に求めることができる。  \[f'(x)=ax^2+bx+c\]として、また 二次方程式 $$f'(x,y)=0$$を求めることになる。の判別式を $$D$$ とおくと、 \begin{cases}\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)=2\cdot f\left(\frac12\cdot\frac{-b}a\right)\\\displaystyle f(\alpha)-f(\beta)=\frac a6\left(\frac{\sqrt D}a\right)^3\end{cases}\[f(\alpha),f(\beta)=f\left(-\frac b{2a}\right)\pm\frac{D^{\frac32}}{12a^2}\]