差分

積分とは、不定積分と定積分の2種類があり、関数 積分には不定積分と定積分の2種類がある。関数 $$f(x)$$ の原始関数 $$F(x)$$ を求めるものが不定積分といい、を求めるものを不定積分と言い

有界閉区間 $$[a,b]$$ 上で定義された有界な関数 $$f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$$ に対しての定積分を定義する。

$$n\in\mathbb{N}$$ に対して閉集合 に対して、有界な関数 $$f:\Omega\into\mathbb{R}$$ 上の の有界閉集合 $$\Omega\subset\mathbb{R}^n$$ 上での $$n$$ 重定積分を定義する。

$$\Omega\subset[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\cdots×[a_n,b_n]\in\mathbb{R}^n$$ となるような列 となるような実数列 $$\{a_k\}_{k=01}^{n},\ \{b_k\}_{k=01}^{n}\in\mathbb{R}$$ を考え

$$\Omega^\tilde{a_k\Omega}_{k=0}^{n}[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×\ \{b_k\}_{k=0}^{n}\in\mathbb{R}cdots×[a_n,b_n]$$

という という有界閉集合 $$\tilde{\Omega}$$ を定める。この時、有界な関数 $$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$ に対し、次の関数 $$\tilde{f}:\tilde{\Omega}\to\mathbb{R}$$ を定める。 $$\tilde{f}(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left\{\begin{eqnarray*}f(x_1,x_2&,&\dots,x_n)\hspace{10pt}&(&(x_1,x_2,\dots,x_n)\in\Omega) \\&0& \hspace{10pt}&(&(x_1,x_2,\dots,x_n)\not\in\Omega)\end{eqnarray*}\right.$$ ここで、 $$\tilde{\Omega}$$ の分割 $$\Delta :a_j=i_{j1}<i_{j2}<\cdots<i_{jn}=b_j\hspace{10pt}(j=1,2,3,\dots n)$$ の閉集合を定める。この時、と定めると $$\displaystyle{M_{i_j1i_j2\cdots i_n}=\sup_{[]}}$$