「入試「物理」での計算」の版間の差分
(→微分方程式) タグ: モバイルウェブ編集、モバイル編集 |
タグ: モバイルウェブ編集、モバイル編集 |
||
| (同じ利用者による、間の38版が非表示) | |||
| 1行目: | 1行目: | ||
| + | これは[[大学入試と「物理」]]においてよく使われる計算や数学的知識をまとめたものである。 | ||
| + | |||
| + | ==定義など== | ||
| + | ===速度と加速度=== | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} | ||
| + | (\text{速度})& \bm{v}&:=&\dot{\bm{x}}\\ | ||
| + | (\text{加速度})& \bm{a}&:=&\dot{\bm{v}} | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | |||
==微積分== | ==微積分== | ||
| − | \[\int \ddot{y} | + | \[\frac{dy}{dx}==a |
| + | \\\Leftrightarrow y=ax+C\] | ||
| + | \[\frac{d^2y}{dx^2}==a | ||
| + | \\\Leftrightarrow y=\frac12ax^2+Ax+B\] | ||
| + | ---- | ||
| + | \[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} | ||
| + | \int \ddot{\bm{y}}\cdot d\bm{y} = \frac12 |\dot{\bm{y}}|^2 + \text{const.}\] | ||
| + | |||
==微分方程式== | ==微分方程式== | ||
| − | \(y= | + | \(y\) は \(x\) の関数とする。 |
| + | |||
| + | ===斉次線型常微分方程式=== | ||
| + | ====1階==== | ||
| + | \[y'==ay\] | ||
| + | の一般解は | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | y=Ae^{ax} | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | とおける。 | ||
| + | ====2階==== | ||
| + | \[y''+\omega^2y==0\] | ||
| + | の一般解は | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | y &=& A\cos\omega x +B\sin\omega x\\ | ||
| + | &=& C\cos(\omega x+\theta) | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | とおける。 | ||
| + | ---- | ||
| + | また、 | ||
| + | \[y''-\omega^2y==0\] | ||
| + | の一般解は | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | y &=& Ae^{\omega x} +Be^{-\omega x} | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
| + | とおける。 | ||
| + | ====n階==== | ||
| + | 一般に | ||
\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\] | \[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\] | ||
の一般解は、 | の一般解は、 | ||
\[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\] | \[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\] | ||
の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、 | の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、 | ||
| − | \[ | + | \[y=A_ne^{\alpha_n x}+ |
A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+ | A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+ | ||
A_1e^{\alpha_1 x}\] | A_1e^{\alpha_1 x}\] | ||
| + | とおける。 | ||
| + | |||
| + | ===非斉次線型常微分方程式=== | ||
| + | \(y^{(0)}=y\) とする。 | ||
| + | \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=f(x)\] | ||
| + | これの一般解は、この特殊解 \(g(x)\)と | ||
| + | \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=0\] | ||
| + | の一般解 \(G(x)\) を用いて | ||
| + | \[y=G(x)+g(x)\] | ||
| + | と表せる。 | ||
| + | |||
| + | ==ベクトル解析== | ||
| + | ある閉曲面 \(S\) に囲まれた領域 \(V\) において、 | ||
| + | \[\int_V \div \bm A dv= \int_S \bm A \cdot d\bm s\] | ||
| + | |||
| + | ある閉曲線 \(C\) に囲まれた曲面 \(S\) において、 | ||
| + | \[\int_S \operatorname{rot} \bm A\cdot d\bm s= \int_C \bm A\cdot d\bm l\] | ||
2019年10月20日 (日) 15:57時点における最新版
これは大学入試と「物理」においてよく使われる計算や数学的知識をまとめたものである。
目次
定義など
速度と加速度
\begin{eqnarray*} \newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} (\text{速度})& \bm{v}&:=&\dot{\bm{x}}\\ (\text{加速度})& \bm{a}&:=&\dot{\bm{v}} \end{eqnarray*}
微積分
\[\frac{dy}{dx}==a \\\Leftrightarrow y=ax+C\] \[\frac{d^2y}{dx^2}==a \\\Leftrightarrow y=\frac12ax^2+Ax+B\]
\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \int \ddot{\bm{y}}\cdot d\bm{y} = \frac12 |\dot{\bm{y}}|^2 + \text{const.}\]
微分方程式
\(y\) は \(x\) の関数とする。
斉次線型常微分方程式
1階
\[y'==ay\] の一般解は \begin{eqnarray*} y=Ae^{ax} \end{eqnarray*} とおける。
2階
\[y''+\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& A\cos\omega x +B\sin\omega x\\ &=& C\cos(\omega x+\theta) \end{eqnarray*} とおける。
また、 \[y''-\omega^2y==0\] の一般解は \begin{eqnarray*} y &=& Ae^{\omega x} +Be^{-\omega x} \end{eqnarray*} とおける。
n階
一般に \[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\] の一般解は、 \[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\] の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、 \[y=A_ne^{\alpha_n x}+ A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+ A_1e^{\alpha_1 x}\] とおける。
非斉次線型常微分方程式
\(y^{(0)}=y\) とする。 \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=f(x)\] これの一般解は、この特殊解 \(g(x)\)と \[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=0\] の一般解 \(G(x)\) を用いて \[y=G(x)+g(x)\] と表せる。
ベクトル解析
ある閉曲面 \(S\) に囲まれた領域 \(V\) において、 \[\int_V \div \bm A dv= \int_S \bm A \cdot d\bm s\]
ある閉曲線 \(C\) に囲まれた曲面 \(S\) において、 \[\int_S \operatorname{rot} \bm A\cdot d\bm s= \int_C \bm A\cdot d\bm l\]
