「質点の方程式」の版間の差分
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\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} | \[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} | ||
m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\] | m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\] | ||
| − | + | * \(m\) ：質点の質量(定数) | |
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| − | + | これはいわゆる微分方程式である。 | |
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| + | ===単純な例=== | ||
| + | 時刻 \(t=0\) に、質量 \(m\) の質点 \(P\) が原点で静止している。ここで \((\frac{mg}{\omega t+1},mg,0)\) の力をかける。この時の質点の座標を \(t\) の関数として求める。 | ||
| + | ( \(g,\omega\) は定数) | ||
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| + | 時刻 \(t\) での \(P\) の座標を \(\bm{x}\) とすると、 | ||
\[m\ddot{\bm{x}}=\left( | \[m\ddot{\bm{x}}=\left( | ||
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| − | mg\ | + | \frac{mg}{\omega t+1}\\mg\\0 |
\end{array}\right) | \end{array}\right) | ||
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\[\ddot{\bm{x}}=\left( | \[\ddot{\bm{x}}=\left( | ||
\begin{array}{c} | \begin{array}{c} | ||
| − | g\cdot\ln(t+1)\\g\\0 | + | \frac g{\omega t+1}\\g\\0 |
| + | \end{array}\right) | ||
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| + | \[\dot{\bm{x}}=\left( | ||
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| + | \frac g\omega\cdot\ln(\omega t+1)+a\\gt+c\\p | ||
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| + | \[\bm{x}=\left( | ||
| + | \begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)+at+b\\\frac12gt^2+ct+d\\pt+q | ||
| + | \end{array}\right) | ||
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| + | ( \(a,b,c,d,p,q\) は定数) | ||
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| + | 最初の速度は \(\bm{0}\)、位置ベクトルは \(\bm{0}\) なので(初期条件)、 | ||
| + | \[\bm{x}=\left( | ||
| + | \begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)\\\frac12gt^2\\0 | ||
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| + | ===複数まとめて扱う=== | ||
| + | 質量 \(m\) の質点 \(P\) と質量 \(M\) の質点 \(Q\) が時刻 \(t=0\) でどちらも原点に静止していた。\(P\) は \(Q\) 以外から \(x\) 軸方向に \(f'(t)\)、\(Q\) は \(P\) 以外から \(x\) 軸方向に \(g'(t)\)の力をかけられている。\(P\) と \(Q\) は互いに力を及ぼし合うが、このときの重心の \(x\) 座標を \(t\) の関数として求める。 | ||
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| + | m\ddot{p}=f'(t)+F\\ | ||
| + | M\ddot{q}=g'(t)-F\\ | ||
| + | G=\frac{mp+Mq}{m+M} | ||
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| + | この連立方程式を解く。ただし \(G\) は重心の座標、\(p\) は \(P\) の座標、\(q\) は \(Q\) の座標。また、\(F\) は \(Q\) が \(P\) に伝える力である。 | ||
| + | 上式、中式より | ||
| + | \begin{eqnarray*} | ||
| + | m\ddot{p}+M\ddot{q}&=&f'(t)+g'(t)\\ | ||
| + | m\dot{p}+M\dot{q}&=&f(t)-f(0)+g(t)-g(0)\\ | ||
| + | mp+Mq&=&\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
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| + | G &=&\frac{mp+Mq}{m+M}\\ | ||
| + | &=&\frac1{m+M}\left(\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t\right) | ||
| + | \end{eqnarray*} | ||
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| + | ===時刻でなく位置が変数の関数=== | ||
| + | 質量 \(m\) の物体の座標が \(x\) のときに \(+x\) 方向に\(ma\cdot f'(x) (>0)\) の力をかける場合、速さを \(t\) を用いずに \(x\) で表す。ただし時刻 \(t=0\) の時の速さは0。( \(a\) は定数) | ||
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| + | \[m\ddot{x}=ma\cdot f'(x)\] | ||
| + | \[\int\ddot{x}dx=a\int f'(x)dx\] | ||
| + | \[\frac12|\dot{x}|^2=a(f(x)-f(0))\] | ||
| + | \[|\dot{x}|=\sqrt{2a(f(x)-f(0))}\] | ||
2019年10月19日 (土) 01:53時点における最新版
大学入試と「物理」において質点の方程式とは、質点の運動を表す手段の呼び名である。
大学入試と「物理」では(ニュートンの)運動方程式と呼ばれているものを用いる。
\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}} m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}\]
- \(m\) ：質点の質量(定数)
- \(\bm{F}\) ：質点にかかる合力( \(t\) の関数)
- \(\bm{x}\) ：質点の位置ベクトル( \(t\) の関数)
これはいわゆる微分方程式である。
使い方の例
単純な例
時刻 \(t=0\) に、質量 \(m\) の質点 \(P\) が原点で静止している。ここで \((\frac{mg}{\omega t+1},mg,0)\) の力をかける。この時の質点の座標を \(t\) の関数として求める。 ( \(g,\omega\) は定数)
時刻 \(t\) での \(P\) の座標を \(\bm{x}\) とすると、 \[m\ddot{\bm{x}}=\left( \begin{array}{c} \frac{mg}{\omega t+1}\\mg\\0 \end{array}\right) \] \[\ddot{\bm{x}}=\left( \begin{array}{c} \frac g{\omega t+1}\\g\\0 \end{array}\right) \] \[\dot{\bm{x}}=\left( \begin{array}{c} \frac g\omega\cdot\ln(\omega t+1)+a\\gt+c\\p \end{array}\right) \] \[\bm{x}=\left( \begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)+at+b\\\frac12gt^2+ct+d\\pt+q \end{array}\right) \] ( \(a,b,c,d,p,q\) は定数)
最初の速度は \(\bm{0}\)、位置ベクトルは \(\bm{0}\) なので(初期条件)、 \[\bm{x}=\left( \begin{array}{c} \frac g{\omega^2}\left((\omega t+1)\cdot\ln(\omega t+1)-\omega t\right)\\\frac12gt^2\\0 \end{array}\right) \]
複数まとめて扱う
質量 \(m\) の質点 \(P\) と質量 \(M\) の質点 \(Q\) が時刻 \(t=0\) でどちらも原点に静止していた。\(P\) は \(Q\) 以外から \(x\) 軸方向に \(f'(t)\)、\(Q\) は \(P\) 以外から \(x\) 軸方向に \(g'(t)\)の力をかけられている。\(P\) と \(Q\) は互いに力を及ぼし合うが、このときの重心の \(x\) 座標を \(t\) の関数として求める。
\begin{cases} m\ddot{p}=f'(t)+F\\ M\ddot{q}=g'(t)-F\\ G=\frac{mp+Mq}{m+M} \end{cases} この連立方程式を解く。ただし \(G\) は重心の座標、\(p\) は \(P\) の座標、\(q\) は \(Q\) の座標。また、\(F\) は \(Q\) が \(P\) に伝える力である。 上式、中式より \begin{eqnarray*} m\ddot{p}+M\ddot{q}&=&f'(t)+g'(t)\\ m\dot{p}+M\dot{q}&=&f(t)-f(0)+g(t)-g(0)\\ mp+Mq&=&\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} G &=&\frac{mp+Mq}{m+M}\\ &=&\frac1{m+M}\left(\int^t_0(f(s)+g(s))ds-(f(0)+g(0))t\right) \end{eqnarray*}
時刻でなく位置が変数の関数
質量 \(m\) の物体の座標が \(x\) のときに \(+x\) 方向に\(ma\cdot f'(x) (>0)\) の力をかける場合、速さを \(t\) を用いずに \(x\) で表す。ただし時刻 \(t=0\) の時の速さは0。( \(a\) は定数)
\[m\ddot{x}=ma\cdot f'(x)\] \[\int\ddot{x}dx=a\int f'(x)dx\] \[\frac12|\dot{x}|^2=a(f(x)-f(0))\] \[|\dot{x}|=\sqrt{2a(f(x)-f(0))}\]
