差分

:$$\displaystyle z^n=\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}\right]z-\left[\sum_{k=0}^{\lfloor (n-2)/2\rfloor}\binom{n-k-2}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-2}\right]$$

$$+1$$ と $$z=e^{i\theta}$$ を理論上の基底の元（$$z$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする $$\mathbb{R}^2$$ において、極座標 が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 $$e^{xz}$$ の示す座標の実部と $$z$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。

これらの関数 $$\cos(x,z)$$ と $$\sin(x,z)$$ はガラパゴ累乗定理を用いて級数展開可能である。詳しくはのマクローリン展開形は、ガラパゴ累乗定理によって示すことが可能である。詳しくは[[ガラパゴ三角関数]]を参照のこと。