ガラパゴ数学

ガラパゴ数学(がらぱごすうがく、Galapagothmetic）とは、多様体型オブジェクト上の座標を数と捉える数学の考え方（視点）である。

概要

ガラパゴ数学という名は、「隔離空間で独自に進化した数学」という意味で ガラパゴス（諸島）+ 数学 を語源とする。英語表記は Galapagoth + Arithmetic であり、数学（mathematics）の中でもとりわけ数の概念や演算の論理的手続きを明らかにするという意味合いで算術（arithmetic）の語が用いられている。

ガラパゴ数学は、創始者である みゆ により「数とはなにか」「演算とはなにか」という数学の根幹・本質を追求するところから開拓された。扱う対象が数理である以上そこから得られる結果が既存の数学と異なるわけではないが、ガラパゴ数学の特徴は独自の視点による見通しの良さにあり、幾何・線形代数・整数論・群論といった数学の各分野をシームレスにしている。

学問分野の一つというよりは、数理を扱う上での視点（考え方）を提示するものにすぎない。よって、数式や用語などの表現方法を定めることは本質ではないが、伝達の便宜上、既存の数学表現や日常用語、図示などで代用して表現される。

数

多様体型オブジェクト上の座標を 数 と呼ぶ。一般に多様体といえば「局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や位相空間」と表現されるが、ここでいう多様体型オブジェクトとは多様体と同一視して扱えるオブジェクト（例えば数直線や複素平面、線形空間など）の 座標・大きさ・方向 という概念を適用可能な抽象的なオブジェクトの総称である。多様体型オブジェクトに対し一定のルールに従って座標をマッピングしたとき、そのルールと座標全体を総称して 座標系 と呼ぶ。

座標系

ガラパゴ数学において主として扱われる座標系は以下のルールをベースとする。

• 任意の大きさを単位とし、１ とする。
• 任意の方向を基準の方向とし、+ と名付ける。
• + の方向に対する１の大きさを $$\mathbb{P}$$ と名付ける。
• 任意の座標を座標の基準（原点）とし、その座標を 0 と名付ける。
• 原点からみた $$\mathbb{P}$$ の指し示す座標を +1 と名付ける。

座標の +1 は単に 1 と略すことができる。ただし、単位の １ とは混同しないよう注意したい。

座標系の $$\mathbb{P}$$ や原点は任意に定めることができるため、異なる複数の座標系を想定できる。

演算

同一の（または同一視可能な）多様体型オブジェクトに複数の座標系を想定したとき、異なる座標系同士の座標を相互に翻訳することを 演算 と呼ぶ。

加減算

加減算は「$$\mathbb{P}$$ が共通で 0 が異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、主に加算と減算の二種類に分けられる。

加算（足し算）

A の座標 a が B の座標 0 のとき、B の座標 b は A の座標 a＋b

減算（引き算）

A の座標 a が B の座標 b のとき、B の座標 0 は A の座標 a－b

乗除算

乗除算は「0 が共通で $$\mathbb{P}$$ が異なる座標系 A と B に対する演算」に該当し、乗算と除算の二種類に分けられる。

乗算（掛け算）

A の座標 a が B の座標 +1 のとき、B の座標 B は A の座標 a×b

除算（割り算）

A の座標 a が B の座標 b のとき、B の座標 +1 は A の座標 a÷b

加減算と乗除算を合わせて四則演算と呼ぶ。

関連項目

• ガラパゴ累乗定理

• ガラパゴ三辺比定理