差分

'''みゆの三辺比定理'''（みゆのさんぺんひていり）とは、三角形の二辺のなす角が （みゆのさんぺんひていり）とは、ユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABC$$ において、辺 $$AB$$ と 辺 $$AC$$ の成す内角が $$\angle A=\theta~\mathrm{rad}$$ である場合、$$\angle B$$ の角度を偶数倍（それに合わせて辺 $$AB$$ と $$AC$$ の長さを伸縮）して得られる新たな三角形の三辺比は $$AB$$ の長さ、$$AC$$ の長さ、$$\cos\theta$$ を変数とする整式で表せる、という定理である。[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、特に $$\theta=\frac{\pi}{2}~\mathrm{rad}$$ である場合の三辺比は２つの変数からなる代数式の比で表せる、ということを示す定理である。の場合は'''ピタゴラスの定理II'''、'''ピタツー'''などの愛称で呼ばれる。 

二辺の成す角が 辺 $$AB$$ の長さが $$x$$、辺 $$AC$$ の長さが $$y$$、これら二辺の成す内角が $$\theta~\mathrm{rad}$$ である三角形の三辺比は、次のように示すことができる。であるようなユークリッド平面上の三角形 $$\triangle ABC$$ において、$$\angle B$$ の角度を２倍（それに合わせて辺 $$AB$$ と $$AC$$ の長さを伸縮）して得られる新たな三角形の三辺比は $$x$$、$$y$$、$$\cos\theta$$ を変数とする整式で表すことができる。

いずれの辺も この場合、いずれの辺も $$0$$ ではないとき、ではないとき $$(x^2-y^2)$$ と $$(2xy-2y^2\cos\theta)$$ に対応する二辺の成す角の角度が $$\theta~\mathrm{rad}$$ となる。ここでいう二辺の成す角とは、厳密には辺を延長した直線と直線の成す角度である。三角形の辺として注目する場合、二辺の正負符号が同じ場合には内角が、いずれか一方が負の場合には外角が、それぞれ となる。ここでいう二辺の成す角とは必ずしも内角を指すものではなく、厳密には辺を延長した直線と直線の成す角である。辺 $$AB$$ と辺 $$AC$$ の伸縮によっていずれか一方のみが負数倍となる場合は内角と外角が入れ替わるため、内角としては $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。すなわち一方が負の場合の内角は となる。  一般に、$$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となるが、これは辺の長さが負の値をとることによって内角と外角が入れ替わることに起因する。を内角に持つ三角形の三辺の比は余弦定理によって :$$x$$ ： $$y$$ : $$\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}$$ と表せることが知られているが、平方根項が存在しており整式ではない。

二辺の成す角 $$θ$$ において $$\cos\theta$$ が有理数値であるような三角形の三辺比は、みゆの三辺比定理を用いて整数比で表すことができる。が有理数値であるような三角形の三辺比は、みゆの三辺比定理を用いると整数比で表すことができる。

ただし三角形の内角に注目する場合は辺の長さが負の値のとき内角と外角が入れ替わることに注意が必要である。その場合の内角は ただし辺の長さが負の値をとる場合、内角と外角が入れ替わることに注意が必要である。その場合の内角は $$\pi-\theta~\mathrm{rad}$$ となる。