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'''ガラパゴ累乗定理'''（ガラパゴるいじょうていり）とは、複素数 $$z$$ の累乗は $$r=z+\baroverline{z}$$ と $$l=-z\cdotpcdot\baroverline{z}=-|z|^2$$ を用いた漸化式より得られる数列 $$A_n$$ を用いて $$+1$$ と を元とする多項式より生成される実数を係数とする $$z$$ の一次結合の形で表せるという定理である。の一次式で表せるという定理である。
[[ガラパゴ数学]]の主定理の一つで、$$+1$$ と $$+z$$ を基底の元とする $$\mathbb{R}^2$$ 斜交平面上の幾何を扱うことを主目的として [[みゆ]] によって導出された。
[[ファイル:実数1と複素数Zを基底の元とするR².png |480px|center|border|実数1と複素数Zを基底の元とするR²のイメージ]]
== 概要 ==
複素数 $$z$$ の 整数 $$n$$ 乗は、$$l=z\cdotp\bar{z}=|z|^2$$ と $$r=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$$ と を用いて次のように表せる。 :$$\begin{array}{l}\begin{pmatrix}z^n\\z^{n+1}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&1\\-l&r\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-z\cdotp\bar{z}=-|&z+\bar{z|}\end{pmatrix}^2n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\end{array}$$ を用いて次のように表せる。
ここで得られる数列
:$$\begin{pmatrix}A_{n+1}\\A_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~すなわち~\begin{cases}A_0S_0=0\\A_1S_1=1\\A_S_{kn}=-l(A_S_{kn-12})+r+(A_S_{kn-21})l\end{cases}$$ として
を用いるなら :$$z^n=C_{n}+S_{n}z=-l(A_S_{n-1})z+(A_S_{n-1})lz\\$$
:$$\begin{array}{l}
z^1=&0+z\\z^2=&-l+rz+l\\z^3=&-rl+(-l+r^2+l)z+rl\\z^4=&-(-l+r^32)l+(-2rl)z+(r^2+l3)lz\\z^5=&-(-2rl+r^43)l+(-3r^2l+l^2)z+(r^3+2rl4)lz\\
&\quad\quad\quad\vdots\\
\end{array}$$
ちなみに、数列 $$S_n$$ の一般項は次の通りであり、$$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。
:$$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{\displaystyle2^n\sqrt{r^2-4l}}=\displaystyle\frac{z^n-\overline{z}^{~n}}{z-\overline{z}}=\sum_{k=0}^{n-1}\overline{z}^{~k}\cdot z^{n-k-1}=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k}$$
:$$\begin{array}{l}
\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&1\\-z\cdotp\bar{z}&z+\bar{z}\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}0&1\\-1&2\cos\theta\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\z\end{pmatrix}\end{array}$$ ここで得られる数列 :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-(S_{n-2})+(2\cos\theta)(S_{n-1})\end{cases}$$ を用いるなら :$$z^n=C_{n}+S_{n}z=-(S_{n-1})+(S_{n})z\\$$:$$\begin{array}{l}z^1&=0+z&\\z^2&=rz-1+rz\\&=-1+(2\cos\theta)z-1\\z^3&=-r+(-1+r^2-1)z-r\\&=-(2\cos\theta)+[(2\cos\theta)^2-1]z\\&=-(2\cos\theta)+[2\cos2\theta+1]z\\z^4&=-(-1+r^32)+(-2r+r^3)z\\&=-[(r2\cos\theta)^2-1)&=]+[(2\cos\theta)^3-2(2\cos\theta)]z\\&=-[2\cos2\theta+1]+[2(2\cos\theta+\cos3\theta)^2-1]z\\z^5&=-(-2r+r^43)+(-3r^2+1+r^4)z\\&=-[(r2\cos\theta)^3-2r2(2\cos\theta)&=]+[(2\cos\theta)^4-3(2\cos\theta)^2+1]z\\&=-[2(2\cos\theta+\cos3\theta)^3-]+[2(2\coscos2\theta+\cos4\theta)+1]z\\
&\quad\quad\quad\vdots\\
z^{2m}
&\displaystyle=-\left[1+2\sum_{k=1}^{m-1}\cos2k\theta\right]+\left[2\sum_{k=0}^{m-1}\cos(2k+1)\theta\right]z\\
z^{2m+1}
&\displaystyle=-\left[2\sum_{k=0}^{m-1}\cos(2k+1)\theta\right]+\left[1+2\sum_{k=1}^{m}\cos2k\theta\right]z\\
\end{array}$$
と表せる。この場合の数列 $$S_n$$ の一般項は次の通りであり、同じく $$z$$ を生成元とする第１種[[ガラパゴ数列]]と同一である。
:$$\displaystyle S_{n}=\frac{\displaystyle\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^n-\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)^n}{\displaystyle2i\sin\theta}\left(=\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}\right)=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}(-1)^k(2\cos\theta)^{n-2k-1}$$
==導出==
\begin{align*}
z^2=&z\cdot z\\
=&((z+-\bar{z})-+\bar{z}+z)z\\=&-(z+\bar{z}\cdotp z)z-+(\bar{z}\cdotp +z)z\\
\end{align*}
ここで、$$rl=(z+\bar{z})$$、$$l\cdotp z,~r=-(\bar{z}\cdotp +z)$$ と置くと
\begin{align*}
z^2=-l+rz+l
\end{align*}
両辺に $$z$$ を乗じると $$z^3=-lz+rz^2+lz$$ となり、右辺に $$z^2=-l+rz+l$$ を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返し、任意の整数乗を同形へと帰結させることで漸化式を得る。を代入することで一次結合の形へと変形できる。この操作を再帰的に繰り返すことで、任意の整数乗を同形へと帰結させられる。※この導出手順は、分配則や結合則を満たし共役同士の和と積を求めることができる数（四元数など）であれば $$z\in\mathbb{C}$$ の範囲に限らず適用可能であることを示している。
この $$z^2=-l+rz$$ は $$+1$$ と $$z$$ を基底の元とする斜交座標形式の複素数であり、$$z^2$$ の指し示す座標は $$(-l,r)$$、それぞれの元の指し示す座標は $$(1,0)$$ と $$(0,1)$$ である。ここで $$z$$ と $$z^2$$ を基底の元とする新たな斜交座標系を想定するとそれぞれの元が指し示す座標は旧座標系で $$(0,1)$$ と $$(-l,r)$$ であるため、基底は $$\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}$$ と表される。旧座標系の基底と比べると原点を中心に $$\mathrm{Arg}~z~(\mathrm{rad})$$ 傾いた姿勢をとっているため、これを累乗することで任意の指数における基底の元の座標を得る。（[[ガラパゴ数学]]の乗算の項を参照）
==幾何への応用幾何イメージ==
複素平面上の $$0$$ を始点とし $$+1$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{s}$$ と、同じく $$0$$ を始点とし任意の複素数 $$z$$ を終点とする位置ベクトル $$\vec{t}$$ において、原点を中心として $$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ の成す角度の整数倍だけ $$\vec{t}$$ を回転させて得られる新たな位置ベクトル $$\vec{t'}$$ は、$$\vec{s}$$ と $$\vec{t}$$ を基底の元とするベクトル空間上の１次結合の形で表現可能である。
==実数の累乗と数列=ガラパゴ三角関数= $$z=\left(\frac{r}2\right)+\left(\mp\sqrt{l-\left(\frac{r}2\right)^2}\right)i$$ は $$z^2=-l+rz$$ の解 であり、 :$$l=\bar{z}\cdot z$$:$$r=\bar{z}+z$$ であるため、本定理より次の三項間漸化式による数列を得る。 :$$\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-l(S_{n-2})+r(S_{n-1})\end{cases}$$ と ここで、$$l\leqq\left(\frac{r}2\right)^2$$ のとき $$z$$ は実数となるため実際の虚部は $$0$$ ということになる。 しかし、$$z=ea+b=(a)+\left(-\sqrt{-b^2}\right)i$$ と虚部を任意に解釈した場合にも :$$l=\bar{iz}\cdot z=a^2-b^2$$:$$r=\thetabar{z}+z=2a$$ を理論上の基底の元（ であり、$$z^2=-(a^2-b^2)+2az$$ は $$z=a+b$$ において真である。 また、 $$\begin{pmatrix}C_{n}&S_{n}\\C_{n+1}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-(a^2-b^2)&2a\end{pmatrix}^n$$ あるいは $$\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a&-(a^2-b^2)\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$ が実数であっても独立した元であるものとみなして区別）とする斜交座標系において、極座標 より得られる数列 :$$e\begin{cases}S_0=0\\S_1=1\\S_{n}=-(a^2-b^2)(S_{xzn-2})+2a(S_{n-1})\end{cases}$$ の示す座標の実部と を用いても、一般項 $$S_{n}=\frac{\displaystyle(a+b)^n-(a-b)^n}{\displaystyle2b}$$ より :$$\begin{array}{rl}z^n=&C_{n}+S_{n}z\\=&-(a^2-b^2)(S_{n-1})+(a+b)(S_{n})\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a^2-b^2)[(a+b)^{n-1}-(a-b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}-(a-b)^n]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n]-(a+b)[(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)[(a+b)^n-(a-b)(a+b)^{n-1}]}{2b}\\=&\displaystyle\frac{(a+b)^n[(a+b)-(a-b)]}{2b}\\=&(a+b)^n\end{array}$$ 部を得る関数として次のような等式を想定する。 と真であることを確認できる。 このことは、複素共役の捉え方を拡張することで実数の累乗にも本定理を応用可能であることを示している。
===黄金数とフィボナッチ数列===
:$$rl=2\timesleft(\frac12=1$$:$$l=+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)\left(\frac12-\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=\left(\frac14+\frac{-5}4\right)=-1$$:$$r=\left(\frac12+\frac{\sqrt{-5}}2i\right)=-+\left(\frac14+frac12-\frac{\sqrt{-5}4}2i\right)=1$$
と同一であることが分かる。
:$$\phie^n{xz}=F_n\phicos_zx+F_{n-1}z\sin_zx$$