\( p_n \)で\( n \)番目の素数を表す。また、\( \log \)は全て自然対数である。
==予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない2個の素数の積で表される素微分友愛数について==
pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする\( p, q \)を素数とし、\( p < q \)とする。\( pq \)が素微分友愛数であるとする
(2p)'=p+2である==主張: 2個の素数は「離れて」いる===
\( (pq)'' = (p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくるq)' < \frac{\log_2{(p+q)}}{2}(p+q) < \frac{\log_2{2q}}{2} \cdot 2q = q(1 + \log_2{q}) \)
pを6で割った余りで場合分けするなので
===\( p=6a< 1 +1のとき===\log_2{q} \)
p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になるすなわち
<nowiki\( q >2a+1=bとおくと2p=(2p)''=(2a+2^{p-1} \)+3b'となる</nowiki>
これが偶数ということはb'は奇数である
b'=2c+1とすると==予想: 2つの素数がどちらも2でも3でもないとする。このとき、両方を6で割った余りは等しい===
a+3c\( p = 6n +21, q =pである6m - 1 \)とすると
\( (pq)'' = (p+q)' =6a(6(n+1と仮定したのでa%3m))' =25(n+m)+6(n+m)' \)
a=3d+2とするそのため\(このときp=18dn +13であるm \)は2の倍数でも3の倍数でもない
3d+3c+4=pである このとき明らかにc+dは奇数 ===p=6a-1のとき=== p+2=6a+1は奇数 ==予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない== pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする (5p)'=p+5である p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる かなりえぐい pを5で割った余りで場合分けする ===p=6a+1のとき=== p+5=6a+6=2・3(a+1) (p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)' すなわち6(a+1)'=a+1である a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから 6(a+1)'=30b+36b'>6b=a よって矛盾が生じた ===p=6a-1のとき=== p%4=1なのでp=12b+5と書ける p+5=2(6b+5)は偶数 <nowiki>6b+5=cとおくと(5p)''=(6b+5)+2c'となる</nowiki>WIP
==定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない==
補遺: どうやらこの\( n \)は\( a \)に対して指数より早く増加するらしい。もうまぢ無理。。。に対して指数より速く増加するらしい。もうまぢ無理。。。
===\( an \)を\( n+a \)に変えて再計算する===
WIP\( n > 10a, n + a < n^{1.1}, n \geq 11 \)とする このとき\( n + a < 1.1n \)である \( \begin{align*}& N' \\<& \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^{(n+a)} \cdot (n+a) \\=& \frac{1}{2} \cdot 2^{(n+a)} \cdot (n+a)^{n+a} \cdot (\log{(n+a)})^{n+a} \cdot (n+a) \\<& 1 \cdot n^{(n+a)\log_n{2}} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot {1.1}^{n+a} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{\log_n{1.1} \cdot (n+a)} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{0.1(n+a)} \cdot n^{1.1} \\=& n^{1.5n+1.5a+1.1} \\\leq& n^{1.6n+1.1a} \\\leq& n^{1.8n}\end{align*} \) \( n \)が\( {10}^3 \)オーダーまで下がってくる ==定理: 1組の素微分友愛数の素因数の個数の合計がちょうど59個になることはない== 最初の59個の素数のうち、どちらにも含まれない素因数が存在するとし、それを\( p_a \)とすると、両方の素因数の逆数の総和は次の和以下である: \( \sum_{k=\{x \mid 1 \leq x \leq 59, x \neq a\}} \frac{1}{p_a} + \frac{1}{60} \) これは\( a \)に関して単調増加し、\( a \leq 39 \)では\( 2 \)より小さい よって\( p_{39} = 167 \)以下の素数は必ず一方に現れる \( p_1 = 2 \)を持つ方を偶数の方、持たない方を奇数の方と呼ぶことにする この定義はwell-definedである また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる(後で詳しく書く) ===ケース1. 偶数の方が3と5を因子に持つとき=== 奇数の方の素因数は全て7以上である \( \frac{1}{7} \)以降の素数の逆数の総和で0.96を超えるためには少なくとも\( \frac{1}{p_{57}} \)まで足す必要がある すなわち奇数の方には素因数が少なくとも54個存在する よって偶数の方には素因数は最大5個しかない また\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{149} > 1.04 \)であるから7と149の間の素数(32個)は全て奇数の方に入る ====ケース1-a. 偶数の方が3個の素因数を持つとき==== その3個は2,3,5であるが2×3×5=30は素微分友愛数ではない ====ケース1-b. 偶数の方が4個の素因数を持つとき==== 奇数の方は55個の素因数を持つため\( 2^{55} \)より大きい よって偶数の方は\( 2^{55} \times 0.96 > 2^{54} > 2^{49} \times 30 \)より大きい 偶数の方を\( 30p \)とすると\( p > 2^{49} \)である このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{49}} < 1.034 \)であるが \( \sum_{k=1}^{55} \frac{1}{p_{k+3}} < 0.966 \)なので \( 1.034 \times 0.966 = (1+0.034)(1-0.034) < 1 \)より条件を満たさない ====ケース1-c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき==== 奇数の方は54個の素因数を持つため\( 2^{54} \)より大きい 偶数の方を\( 30pq (p,q \in \mathbb{P}, p < q)\)とする \( pq > \frac{2^{54}}{30} > 2^{49} \)であるから\( p > 2^{24.5} \)である このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{24.5}} < 1.034 \)なので やはり条件を満たさない ===ケース2. 偶数の方が3を因子に持ち5を因子に持たないとき=== ===ケース3. 偶数の方が5を因子に持ち3を因子に持たないとき=== ===ケース4. 偶数の方が3と5を因子に持たないとき===