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差分
\( p_n \)で\( n \)番目の素数を表す。また、\( \log \)は全て自然対数である。
==予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない2個の素数の積で表される素微分友愛数について==
\( (pq)'' = (p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくるq)' < \frac{\log_2{(p+q)}}{2}(p+q) < \frac{\log_2{2q}}{2} \cdot 2q = q(1 + \log_2{q}) \)
\( (pq)'' = (p+q)' =6a(6(n+1と仮定したのでa%3m))' =25(n+m)+6(n+m)' \)
==定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない==
とおくと、
\( \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{21.76(\log{\log{x}}-0.3)}{x(\log{x})^2} \)
であるから、\( x > 4 > e ^{e^{0.3}} \)で\( f(x) \)は単調減少である。
数値計算によると\( x \geq 30 \)で\( f(x) < 1 \)となるから矛盾。
以上より示された。
==定理: \( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n\# \cdot M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数は\( a \)ごとに有限個しかない==
===補題===
====補題1====
\( x > 1, y \geq 1 \)のとき\( \log(x+y) < \log(x) + \frac{y}{x} \)
\( y \)の関数\( \log(x+y) \)は上に凸なので\( \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} \)が従う
====補題2====
\( x > 1, y \geq 1 \)のとき
$$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$
====補題3====
\( n \geq 3 \)とする
\( \begin{align*}
& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_k} \\
=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{p_k} \\
<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k\log{k}} \\
<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \int_{k-1}^k \frac{1}{x\log{x}} dx \\
=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} (\log{\log{k}} - \log{\log{(k-1)}}) \\
=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{n}} - \log{\log{2}} \\
<& \log{\log{n}} + 1.2
\end{align*} \)
===証明===
\( n \geq 2a, n \geq 3 \)としてよい
\( p_n\# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} \)であるから
\( \begin{align*}
& N' \\
<& \frac{1}{2} \cdot (2an \log{an})^{an} \cdot (an) \\
=& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a}+\log{n})^{an} \cdot an \\
<& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\
<& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2} + 1 + \log_n{a} + \log_n(2\log{n})) + 2} \\
=& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2a} + 1 + \log_n(2\log{n})) + 2} \\
<& n^{-1 + 3an + 2} \\
=& n^{3an+1} \\
\end{align*} \)
であるから\( N' \)の素因数の個数は\( 3an+1 \)個以下である。また、\( N' \)の素因数は全て\( p_{n+1} \)以上であるから、\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると、
$$ T < \frac{3an+1}{n\log{n}} = \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}} $$
である。また、\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると、
\( \begin{align*}
& S \\
<& \sum_{k=1}^{an} \frac{1}{p_k} \\
<& \log{\log{an}} + 1.2
\end{align*} \)
よって
\( S \cdot T < \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) \)
であり、これは\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \)で\( 0 \)に収束する。
よって、十分大きい\( n \)に対して\( S \cdot T < 1 \)となるから、題意が示された。
===数値計算===
たとえば\( a = 2 \)のとき\( S \cdot T < 1 \)となる\( n \)は・・・
6000億だそうです。わんわんわんだほーーーい！！！
補遺: どうやらこの\( n \)は\( a \)に対して指数より速く増加するらしい。もうまぢ無理。。。
===\( an \)を\( n+a \)に変えて再計算する===
\( n > 10a, n + a < n^{1.1}, n \geq 11 \)とする
このとき\( n + a < 1.1n \)である
\( \begin{align*}
& N' \\
<& \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^{(n+a)} \cdot (n+a) \\
=& \frac{1}{2} \cdot 2^{(n+a)} \cdot (n+a)^{n+a} \cdot (\log{(n+a)})^{n+a} \cdot (n+a) \\
<& 1 \cdot n^{(n+a)\log_n{2}} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot {1.1}^{n+a} \cdot n^{1.1} \\
<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{\log_n{1.1} \cdot (n+a)} \cdot n^{1.1} \\
<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{0.1(n+a)} \cdot n^{1.1} \\
=& n^{1.5n+1.5a+1.1} \\
\leq& n^{1.6n+1.1a} \\
\leq& n^{1.8n}
\end{align*} \)
\( n \)が\( {10}^3 \)オーダーまで下がってくる
==定理: 1組の素微分友愛数の素因数の個数の合計がちょうど59個になることはない==
最初の59個の素数のうち、どちらにも含まれない素因数が存在するとし、それを\( p_a \)とすると、両方の素因数の逆数の総和は次の和以下である:
\( \sum_{k=\{x \mid 1 \leq x \leq 59, x \neq a\}} \frac{1}{p_a} + \frac{1}{60} \)
これは\( a \)に関して単調増加し、\( a \leq 39 \)では\( 2 \)より小さい
よって\( p_{39} = 167 \)以下の素数は必ず一方に現れる
\( p_1 = 2 \)を持つ方を偶数の方、持たない方を奇数の方と呼ぶことにする
この定義はwell-definedである
また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる(後で詳しく書く)
===ケース1. 偶数の方が3と5を因子に持つとき===
奇数の方の素因数は全て7以上である
\( \frac{1}{7} \)以降の素数の逆数の総和で0.96を超えるためには少なくとも\( \frac{1}{p_{57}} \)まで足す必要がある
すなわち奇数の方には素因数が少なくとも54個存在する
よって偶数の方には素因数は最大5個しかない
また\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{149} > 1.04 \)であるから7と149の間の素数(32個)は全て奇数の方に入る
====ケース1-a. 偶数の方が3個の素因数を持つとき====
その3個は2,3,5であるが2×3×5=30は素微分友愛数ではない
====ケース1-b. 偶数の方が4個の素因数を持つとき====
奇数の方は55個の素因数を持つため\( 2^{55} \)より大きい
よって偶数の方は\( 2^{55} \times 0.96 > 2^{54} > 2^{49} \times 30 \)より大きい
偶数の方を\( 30p \)とすると\( p > 2^{49} \)である
このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{49}} < 1.034 \)であるが
\( \sum_{k=1}^{55} \frac{1}{p_{k+3}} < 0.966 \)なので
\( 1.034 \times 0.966 = (1+0.034)(1-0.034) < 1 \)より条件を満たさない
====ケース1-c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき====
奇数の方は54個の素因数を持つため\( 2^{54} \)より大きい
偶数の方を\( 30pq (p,q \in \mathbb{P}, p < q)\)とする
\( pq > \frac{2^{54}}{30} > 2^{49} \)であるから\( p > 2^{24.5} \)である
このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{24.5}} < 1.034 \)なので
やはり条件を満たさない
===ケース2. 偶数の方が3を因子に持ち5を因子に持たないとき===
===ケース3. 偶数の方が5を因子に持ち3を因子に持たないとき===
===ケース4. 偶数の方が3と5を因子に持たないとき===