差分

\(2pp, q \)'=を素数とし、\( p+2である< q \)とする。\( pq \)が素微分友愛数であるとする

\( p <nowiki>p+2=6a+3=3(2a1 +1\log_2{q} \)なのでこれは3の倍数になる

a+3c+2=pである==予想: 2つの素数がどちらも2でも3でもないとする。このとき、両方を6で割った余りは等しい===

\( p=6a6n +1と仮定したのでa%31, q =26m - 1 \)とすると

a\( (pq)'' =3d(p+2とするq)' = (6(このときpn+m))' =18d5(n+m)+6(n+13であるm)' \)

3dそのため\( n +3c+4=pであるm \)は2の倍数でも3の倍数でもない

===p=6a-1のとき=定理: 素数階乗は素微分友愛数にならない==

p+2=6a+1は奇数==素数定理===

==予想[https: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない==//mathworld.wolfram.com/RossersTheorem.html Rosser's Theorem]によると、\( n \)番目の素数は\( n \log{n} \)より大きい。

\(5pn (\log{n} + \log{\log{n}}) < 2n \log{n} \)であることは容易にわかる。また、数値計算と合わせて\( p_n < 2n \log{n} \)が\( n \geq 3 \)'=p+5であるで成り立つことが分かる。

N===p=6a+1のとき===(n番目の素数階乗)について考えその大きさを評価する

p+5=6a+6=2・3\(a+1N < (2n \log{n})^n \)である

\(p+\begin{align*}& N' \\<& \frac{1}{2} \cdot (2n \log{n})'^n \cdot n \\=3& 2^{n-1} \cdot (a\log{n})^n \cdot n^{n+1} \\=& n^{n+1 + (n-1)\log_n{2} +2(an\log_n{\log{n}}} \\<& n^{n+1)+6n\log_n{(a2\log{n})}} \\<& n^{n+1+ n\log_n{(2n^{0.37})'=5}} (a\because \log{n} \leq n^{\frac{1}{e}}) \\<& n^{n+1)+6(a0.37n +1)'=5an\log_n{2}} \\<& n^{n+50.1n +6(a0.37n +0.29n} \\<& n^{1.76n}\end{align*} \)'

すなわち6\( N' \)の素因数は\( n \)より大きいので、素因数は最大でも\(a+1.76n \)'=a+1である個しか持たない

このとき\(a+0 < T < \frac{1)'.76n}{n\log{n}} =(6b\frac{1.76}{\log{n}} \)'=5b+6b'であるから

\( \begin{align*}& S \\<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p_n} \\\leq & \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \sum_{k=11}^n \frac{1}{n\log{n}} \\<& \sum_{k=p1}^{10}\frac{1}{p_k} + \int_{10}^n \frac{1}{x\log{x}} dx (\because \frac{1}{x\log{x}}は単調減少) \\=6a& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \log{\log{n}} -1のとき===\log{\log{10}} \\<& \log{\log{n}} + 0.7 \\\end{align*} \)

3a+2=bとおくと\(5p)''=S \cdot T < \frac{1.76}{\log{n}}(3a\log{\log{n}} +20.7) \)+2b'となる

5p\( \frac{d}{dx}f(x) =- \frac{1.76(5p\log{\log{x}}-0.3)''=}{x(6c+5\log{x})^2} \)+2b'

mod5で考えるとcであるから、\( x > 4 > e^{e^{0.3}} \)で\( f(x) \)は単調減少である。 数値計算によると\( x \geq 30 \)で\( f(x) < 1 \)となるから矛盾。 よって\( 29 \)番目の素数階乗まで調べればよい。わんだほーい！！！ ===実験=== ====コード====\( \left(p_n\#\right)' \)を計算するPython3のコード <pre># coding: utf-8# Your code here! import sympy n = 10 primes = [] for i in range(n*n): if sympy.isprime(i): primes.append(i) if len(primes) == n: break total = 0 for p1 in primes: term = 1 for p2 in primes: if p1 != p2: term *= p2 total += term print(total)print(sympy.factorint(total))</pre> ====判定法==== \( 29 \)番目までの素数の逆数和が\( 2 \)に満たないこと、\( \frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\cdots+\frac{1}{23} < 0.5 \)であることから、\( 5\# \)以降について、素因数が6個以下であれば素微分友愛数ではないことがわかる。 ====結果==== # (2#)'=1=1# (3#)'=5=5# (5#)'=31=31# (7#)'=247=13×19# (11#)'=2927=2927# (13#)'=40361=40361# (17#)'=716167=19×37693# (19#)'=14117683=37×381559# (23#)'=334406399=43×163×47711# (29#)'=9920878441=269×36880589# (31#)'=314016924901=61×4253×1210397# (37#)'=11819186711467=79×82913×1804421# (41#)'=492007393304957=2683561×183341237# (43#)'=21460568175640361=47×456607833524263# (47#)'=1021729465586766997=1559×655374897746483# (53#)'=54766551458687142251=1701437×32188409831623# (59#)'=3263815694539731437539=1087×3002590335363138397# (61#)'=201015517717077830328949=201015517717077830328949# (67#)'=13585328068403621603022853=13585328068403621603022853# (71#)'=972416614407737400870501653=653×24310877×61254579539162813# (73#)'=71544353681891529224514036059=79×905624730150525686386253621# (79#)'=5692733621468679832887230172131=5692733621468679832887230172131# (83#)'=475714535349241099037539188841003=6991×17117×31727×125299823719985846887# (89#)'=42605658161771733665696611824842057=128427649157×331748330218886478419701# (97#)'=4156517583588203716343221884611037839=11887×349669183443106226663011851990497# (101#)'=422113843906354093775418512493046577809=2549×165599781838506902226527466650861741# (103#)'=43710588286712969019768170103664304877397=20831283974697087833×2098314647325937289309# (107#)'=4701017770207212913287900722730772880277689=109×25013×45090757000504693×38239489461719284069# (109#)'=514977313070181206962860776592994315598662571=155963971×3301899212800764139064276432106196601 以上より示された。 ==定理: \( a > 1 \)を定数とする。\( N = p_n\# \cdot M \)、ただし\( M \)の最大素因数は\( p_{an} \)以下、と表されるような\( N \)のうち、素微分友愛数は\( a \)ごとに有限個しかない== ===補題=== ====補題1==== \( x > 1, y \geq 1 \)のとき\( \log(x+y) < \log(x) +2b\frac{y}{x} \) \( y \)の関数\( \log(x+y) \)は上に凸なので\( \log(x+y) < \log{x} + \frac{y}{x} \)が従う ====補題2==== \( x > 1, y \geq 1 \)のとき $$ \log(\log(x+y)) < \log(\log(x) + \frac{y}{x}) < \log(\log(x)) + \frac{y}{x\log{x}} $$ ====補題3==== \( n \geq 3 \)とする \( \begin{align*}& \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_k} \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{p_k} \\<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k\log{k}} \\<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} \int_{k-1}^k \frac{1}{x\log{x}} dx \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \sum_{k=3}^{n} (\log{\log{k}} - \log{\log{(k-1)}}) \\=& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \log{\log{n}} - \log{\log{2}} \\<& \log{\log{n}} + 1.2\end{align*} \) ===証明=== \( n \geq 2a, n \geq 3 \)としてよい \( p_n\# < (2n \log{n})^n, N < (2an \log{an})^{an} \)であるから \( \begin{align*}& N'は5の倍数\\</nowiki& \frac{1}{2} \cdot (2an \log{an})^{an} \cdot (an) \\=& \frac{1}{2} \cdot 2^{an} \cdot (an)^{an} \cdot (\log{a}+\log{n})^{an} \cdot an \\<& n^{(an-1)\log_n{2} + an(1+\log_n{a}) + an(\log_n(\log{a}+\log{n})) + (1 + \log_n{a})} \\<& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2} + 1 + \log_n{a} + \log_n(2\log{n})) + 2} \\=& n^{-\log_n{2} + an(\log_n{2a} + 1 + \log_n(2\log{n})) + 2} \\<& n^{-1 + 3an + 2} \\=& n^{3an+1} \\\end{align*} \) であるから\( N' \)の素因数の個数は\( 3an+1 \)個以下である。また、\( N' \)の素因数は全て\( p_{n+1} \)以上であるから、\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると、 $$ T < \frac{3an+1}{n\log{n}} = \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}} $$ である。また、\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると、 \( \begin{align*}& S \\<& \sum_{k=1}^{an} \frac{1}{p_k} \\<& \log{\log{an}} + 1.2\end{align*} \) よって \( S \cdot T < \frac{3a + \frac{1}{n}}{\log{n}}(\log{\log{an}} + 1.2) \) であり、これは\( \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \)で\( 0 \)に収束する。 よって、十分大きい\( n \)に対して\( S \cdot T < 1 \)となるから、題意が示された。 ===数値計算=== たとえば\( a = 2 \)のとき\( S \cdot T < 1 \)となる\( n \)は・・・ 6000億だそうです。わんわんわんだほーーーい！！！  補遺: どうやらこの\( n \)は\( a \)に対して指数より速く増加するらしい。もうまぢ無理。。。 ===\( an \)を\( n+a \)に変えて再計算する=== \( n > 10a, n + a < n^{1.1}, n \geq 11 \)とする このとき\( n + a < 1.1n \)である \( \begin{align*}& N' \\<& \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^{(n+a)} \cdot (n+a) \\=& \frac{1}{2} \cdot 2^{(n+a)} \cdot (n+a)^{n+a} \cdot (\log{(n+a)})^{n+a} \cdot (n+a) \\<& 1 \cdot n^{(n+a)\log_n{2}} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot {1.1}^{n+a} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{\log_n{1.1} \cdot (n+a)} \cdot n^{1.1} \\<& n^{0.3(n+a)} \cdot n^{1.1(n+a)} \cdot n^{0.1(n+a)} \cdot n^{1.1} \\=& n^{1.5n+1.5a+1.1} \\\leq& n^{1.6n+1.1a} \\\leq& n^{1.8n}\end{align*} \) \( n \)が\( {10}^3 \)オーダーまで下がってくる ==定理: 1組の素微分友愛数の素因数の個数の合計がちょうど59個になることはない== 最初の59個の素数のうち、どちらにも含まれない素因数が存在するとし、それを\( p_a \)とすると、両方の素因数の逆数の総和は次の和以下である: \( \sum_{k=\{x \mid 1 \leq x \leq 59, x \neq a\}} \frac{1}{p_a} + \frac{1}{60} \) これは\( a \)に関して単調増加し、\( a \leq 39 \)では\( 2 \)より小さい よって\( p_{39} = 167 \)以下の素数は必ず一方に現れる \( p_1 = 2 \)を持つ方を偶数の方、持たない方を奇数の方と呼ぶことにする この定義はwell-definedである また定理6と同じ論法により素数の逆数の総和は0.96と1.04の間にあることが分かる(後で詳しく書く) ===ケース1. 偶数の方が3と5を因子に持つとき=== 奇数の方の素因数は全て7以上である \( \frac{1}{7} \)以降の素数の逆数の総和で0.96を超えるためには少なくとも\( \frac{1}{p_{57}} \)まで足す必要がある すなわち奇数の方には素因数が少なくとも54個存在する よって偶数の方には素因数は最大5個しかない また\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{149} > 1.04 \)であるから7と149の間の素数(32個)は全て奇数の方に入る ====ケース1-a. 偶数の方が3個の素因数を持つとき==== その3個は2,3,5であるが2×3×5=30は素微分友愛数ではない ====ケース1-b. 偶数の方が4個の素因数を持つとき==== 奇数の方は55個の素因数を持つため\( 2^{55} \)より大きい よって偶数の方は\( 2^{55} \times 0.96 > 2^{54} > 2^{49} \times 30 \)より大きい 偶数の方を\( 30p \)とすると\( p > 2^{49} \)である このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{49}} < 1.034 \)であるが \( \sum_{k=1}^{55} \frac{1}{p_{k+3}} < 0.966 \)なので \( 1.034 \times 0.966 = (1+0.034)(1-0.034) < 1 \)より条件を満たさない ====ケース1-c. 偶数の方が5個の素因数を持つとき==== 奇数の方は54個の素因数を持つため\( 2^{54} \)より大きい 偶数の方を\( 30pq (p,q \in \mathbb{P}, p < q)\)とする \( pq > \frac{2^{54}}{30} > 2^{49} \)であるから\( p >2^{24.5} \)である このとき\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2^{24.5}} < 1.034 \)なので やはり条件を満たさない ===ケース2. 偶数の方が3を因子に持ち5を因子に持たないとき=== ===ケース3. 偶数の方が5を因子に持ち3を因子に持たないとき=== ===ケース4. 偶数の方が3と5を因子に持たないとき===