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差分
素微分
,p'=&1\\
(ab)'=&a'b+ab'\\
(abcd\cdots)' =& a'bcd\cdots + ab'cd\cdots + abc'd\cdots + abcd'\cdots + \cdots \\(a^bn)'=&(a \cdot a \cdot a \cdot \cdots)' \\=& a'a \cdot a \cdots + a \cdot a' \cdot a \cdots + a \cdot a \cdot a' \cdots + \cdots \\=& na^{n-1}a' \\((abc\cdots)^n)' =& (a^nb^nc^n\cdots)'\\=&n a' a^{n-1} b^n c^n \cdots + n b' a^n b^{n-1} c^n \cdots + n c'baa^n b^n c^{n-1} \cdots + \cdots \\=&n a^{n-1} b^{n-1}c^{m-1}\cdots (a'bc \cdots + ab'c \cdots + abc' \cdots + \cdots)\\=&n(abc\cdots)^{n-1}(abc\cdots)'
\end{align*}$$
\end{align*}$$
などが分かる。
===積・商の素微分===
$$\begin{align*}
& \left[\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\right]' = \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} + \sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{q_j}{p_j} \right) \\
=& \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} \right) + \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)\left(\sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{q_j}{p_j} \right) = \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)'\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right) + \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{q_k}\right)' \\
=& \frac{\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)\left(\sum_{j=1}^n \frac{q_j}{p_j} \right) - \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)\left(\sum_{j={n+1}}^{\infty} \frac{-q_j}{p_j} \right)}{\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)^2} = \frac{\left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)'\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right) - \left(\prod_{k=1}^n {p_k}^{q_k}\right)\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)'}{\left(\prod_{k={n+1}}^{\infty} {p_k}^{-q_k}\right)^2}
\end{align*}$$
== 拡張 ==
このとき、$$n$$の(拡張した)素微分を
:$$\displaystyle n'=\left(\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{q_i}\right)\left(\sum_{j=1}^{\infty}\frac{q_i}{p_i}\right)= \sum_{j=1}^{\infty} q_j \cdot \frac{\prod_{k=1}^{\infty}{p_k}^{q_i}}{p_j}$$
と定義する。
これにより、$$1' = (p^0)' = 1 \cdot \frac{0}{p} = 0$$と定まる。便宜上、絶対値が$$1$$であるような数の素微分値も$$0$$とすることで多元数に対する素微分を定義できる。
例: $$(3+4i)'=(|3+4i|e^{iArg(3+4i)})'=5'e^{i\mathrm{Arg}(3+4i)}+0=e^{i\mathrm{Arg}(3+4i)}=\frac{3}{5}+\frac{4}{5}i$$
=== 例 ===