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とおくと、
\( \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{1.76(\log{\log{x}}-0.3)}{x(\log{x})^2} \)
であるから、\( x > 4 > e ^{e^{0.3}} \)で\( f(x) \)は単調減少である。
数値計算によると\( x \geq 30 \)で\( f(x) < 1 \)となるから矛盾。
以上より示された。
==定理: 「飛び」ごとに素微分友愛数は高々有限個しか存在しない==
直前の定理を同じように証明する。
===定義===
無平方数$ n $の最大の素因数を$ p_m $とし、$ n $の素因数の個数を$ k $とするとき、$ n $の「飛び」を$ m - k $と定義する。
直感的には、最大の素因数までで「飛ばされた」素因数の個数である。
たとえば、素数階乗の飛びは0であり、2×5×13の飛びは3である。
===証明===
飛びを$ a $とし、これを固定する。また、$ N $を飛びが$ a $であるような無平方数とする
任意の正の数$ \varepsilon $に対し、$ n > m $ならば$ 2(n+a)\log{(n+a)} < n^{1+\varepsilon} $となるような$ m $が存在するので
このような最小の自然数$ m $を$ L_1 $と書くことにする
$ L_1 $は$ \varepsilon $と$ a $に依存することに注意せよ
以下、$ n > L_1 $とする
$ N $に含まれる素因数が$ n $個であるとする
このとき、$ N $の最大の素因数は$ p_{n+a} $であるから
$$ N' < \frac{1}{2} \cdot (2(n+a) \log{(n+a)})^n \cdot n < \frac{1}{2} n^{n(1+\varepsilon)+1} < n^{n(1+\varepsilon)+1} $$
であるから、$N'$は素因数を最大でも\( n(1+\varepsilon)+1 \)個しか持たない
よって\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると
\( 0 < T < \frac{n(1+\varepsilon)+1}{n\log{n}} < \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{n}} \)
が成り立つ
また\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると
$$ 0 < S < \sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \log{\log{(n+a)}} \\ $$
が成り立つ
$$ f(x) =left( \frac{1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}}{\log{x}} \right) \left( sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} + \log{\log{(n+x)}} \right) $$
とし、
$$ A = 1+\varepsilon+\frac{1}{L_1}, B = sum_{k=1}^{L_1}\frac{1}{p_k} - \log{\log{L_1}} $$
とすると
$$ \frac{d}{dx}f(x) = - \frac{A(B-1+\log{\log{x}})}{x(\log{x})^2}
であるから、
