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n>=11のとき
n>10とする
10番目(29#)までの素数階乗は実験により素微分友愛数でないことが確かめられる
\( n \geq 11 \)とする
N=(n番目の素数階乗)について考えその大きさを評価する
\( N < (2n \log{n})^n \)である
=& n^{n+1 + (n-1)\log_n{2} + n\log_n{\log{n}}} \\
<& n^{n+1 + n\log_n{(2\log{n})}} \\
<& n^{n+1 + n\log_n{(2n^{0.437})}} (\because \log{n} \leq n^{\frac{1}{e}}) \\
<& n^{n+1 + 0.37n + n\log_n{2}} \\
<& n^{n+0.1n + 0.37n + 0.29n} \\
\end{align*} \)
\( N' \)の素因数は\( p_n n \)以上であるから、素因数は最大でもより大きいので、素因数は最大でも\( 1.76n \)個しか持たない
よって\( N' \)の素因数の逆数の総和を\( T \)とすると
が成り立つ
また\( N \)の素因数の逆数の総和を\( S \)とすると
\( \begin{align*}
& S \\
<& \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{p_n} \\
\leq & \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \sum_{k=11}^n \frac{1}{n\log{n}} \\
<& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \int_{10}^n \frac{1}{x\log{x}} dx (\because \frac{1}{x\log{x}}は単調減少) \\
=& \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{p_k} + \log{\log{n}} - \log{\log{10}} \\
<& \log{\log{n}} + 0.7 \\
\end{align*} \)
であるから
