利用者:Nayuta Ito/素微分友愛数の研究の進展/独自研究

予想: 素数の2倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、2pが素微分友愛数であるとする

(2p)'=p+2である

p+2が約数がすごく多くて微分すると2pに戻ってくる

pを6で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+2=6a+3=3(2a+1)なのでこれは3の倍数になる

2a+1=bとおくと2p=(2p)=(2a+1)+3b'となる

これが偶数ということはb'は奇数

b'=2c+1とすると

a+3c+2=pである

p=6a+1と仮定したのでa%3=2

a=3d+2とする(このときp=18d+13である)

3d+3c+4=pである

このとき明らかにc+dは奇数

p=6a-1のとき

p+2=6a+1は奇数

予想: 素数の5倍が素微分友愛数となることはない

pを素数とし、5pが素微分友愛数であるとする

(5p)'=p+5である

p+5が約数がすごく多くて微分すると5pに戻ってくる

かなりえぐい

pを5で割った余りで場合分けする

p=6a+1のとき

p+5=6a+6=2・3(a+1)

(p+2)'=3(a+1)+2(a+1)+6(a+1)'=5(a+1)+6(a+1)'=5a+5+6(a+1)'

すなわち6(a+1)'=a+1である

a+1は6の倍数なのでa=6b-1とする

このとき(a+1)'=(6b)'=5b+6b'であるから

6(a+1)'=30b+36b'>6b=a

よって矛盾が生じた

p=6a-1のとき

p+5=2(3a+2)は偶数

3a+2=bとおくと(5p)=(3a+2)+2b'となる

左辺は奇数なのでaは奇数

左辺は3で割って1余るのでb'は3で割って1余る

a=2c+1とおく(このときp=12c+5である)

5p=(5p)=(6c+5)+2b'

mod5で考えるとc+2b'は5の倍数