Wikiいけめん
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この記事では、巨大数における有限と無限について解説する。
これは直感的な説明であることに注意すること。
=== 第1節 \( \omega^{\omega} \)まで===
* \( 1, 2, 3, \cdots \)と進んだ先には\( \omega \)がある。
* \( \omega \)から再び\( \omega+1, \omega+2, \omega+3, \cdots \)と進み、\( \omega \times 2 \)に到達する。
* \( \omega^2 \)からまた無限に数えると、\( \omega^2 + \omega \)である。
* \( \omega^2 \)から\( \omega^2 \)の構造をもう一度数えることで、\( \omega^2 \times 2 \)となる。
* \( \omega^2 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^3 \)となる。
* \( \omega^3 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^4 \)となる。
* \( \omega^n \)の構造を無限に積み上げて、\( \omega^{\omega} \)となる。
\( \omega^{\omega} \)未満の順序数は\( \omega \)の「多項式」のように表される。すなわち、
\( \omega^4 + \omega^3 \times 6 + \omega \times 2 + 3 \)
のような形で表される。この表し方が、カントール標準形の\( \omega^{\omega} \)未満の部分である。\( \omega^{\omega} \)以上の部分については後述する。
=== 第2節 大きな順序数===
* \( \omega^{\omega} \)の次の順序数は\( \omega^{\omega} + 1 \)である。
* \( \omega^{\omega} \)から無限に数えた先が\( \omega^{\omega} + \omega \)である。
* \( \omega^{\omega} \)からさらに\( \omega^{\omega} \)まで数えると\( \omega^{\omega} \times 2 \)である。
* \( \omega^{\omega} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+1} \)である。
* \( \omega^{\omega+1} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+2} \)である。
* 「無限回重ねる」という操作を無限回重ねると\( \omega^{\omega \times 2} \)である。
・・・・・・・・・
* 指数をどんどん増やしていって、えげつない無限の操作の先にあるのが\( \omega^{\omega^{\omega}} \)である。
===第1節 第3節 ヒドラゲーム===
\( \varepsilon_0 \)は非常に大きな順序数であるため、そのまま扱うのは分かりにくい。そのため、visualizationが用意されている。