差分

順序数にはデフォルトで大小関係が入っているため、これを強さの序列とみなし、それぞれに適当な自然数へのエンコーディングを与えることにより、塔にモンスターの代わりに順序数を配置することができる。 順序数を塔に配置した場合は、インクリメントパラメータは「その順序数がα+1と表されるときtrue、そうでないときfalse」とするのが一般的である。 残りはリダイレクト規則だけであるが、このリダイレクト規則を適切に定めるのが非常に難しい。 ここまでのアイデアを数式にしたのがハーディー階層\(わかっている人向けH \)である。 \( \alpha \)を順序数、\( n \)を自然数とする。 * \( \alpha = 0 \)のとき: 本来はFGHを解説するべきだが、それまでの解説と整合性を持たせるためにHHとする。\( H_0(n) = n \)* \( \alpha = \beta + 1 \)と書けるとき: \( H_{\alpha}(n) = H_{\beta}(n + 1) \)* それ以外のとき: \( H_{\alpha}(n) = H_{\alpha[n]}(n) \) \( \alpha[n] \)という記号は後述する基本列という概念を表す記号である。 \( H_{\alpha}(n) \)は、「カウンターが\( n \)のときに順序数\( \alpha \)のいる階に着いた」ことを表す。また、順序数\( 0 \)は受付の人間に対応する。 ===第1節 基本列=== \( n \)をカウンターの値とする。 基本列とはいい感じのリダイレクト規則である。 例えば、ω×2のリダイレクト規則として\( n \)を採用した場合、\( n \)がいくら大きくてもω以上の順序数に行くことはなく、ω2の強さが「生かし切れていない」といえる。 一方、ω×2のリダイレクト規則として\( \omega + n \)を採用した場合、ω×2以下のどんな順序数に対しても、\( n \)を大きくすればそれより大きな順序数に行く。 このように、「強さを生かし切れたリダイレクト規則」を基本列と呼ぶ。 順序数の表現(正確にはカントール標準形というものである)が・・・+ω^aであるとき、その基本列は・・・+ω^(a-1)×nとすることが多い(正確にはワイナー階層というものである)。ただし、ω^0=1、ω^1=ωである。 ===第2節 具体例=== \( \begin{align*}& H_3(5) \\=& H_2(6) (\because 3 = 2 + 1)\\=& H_1(7) (\because 2 = 1 + 1)\\=& H_0(8) (\because 1 = 0 + 1)\\=& 8\end{align*} \)  \( \begin{align*}& H_{\omega}(5) \\=& H_5(5) (\because \omega = \omega^1, \omega^0 \times 5 = 1 \times 5 = 5)\\=& H_4(6) \\=& \cdots \\=& 10\end{align*} \)  \( \begin{align*}& H_{\omega \times 2}(3) \\=& H_{\omega + 3}(3) (\because \omega \times 2 = \omega + \omega)\\=& H_{\omega + 2}(4) \\=& H_{\omega + 1}(5) \\=& H_{\omega}(6) \\=& H_6(6) \\=& H_5(7) \\=& \cdots \\=& 12\end{align*} \)  \( \begin{align*}& H_{\omega^2}(3) \\=& H_{\omega \times 3}(3) \\=& H_{\omega \times 2 + 3}(3) \\=& H_{\omega \times 2 + 2}(4) \\=& H_{\omega \times 2 + 1}(5) \\=& H_{\omega \times 2}(6) \\=& H_{\omega + 6}(6) \\=& \cdots \\=& H_{\omega}(12) \\=& H_{12}(12) \\=& \cdots \\=& 24\end{align*} \) ==第2章-丙 カントール標準形== ここでは、\( \varepsilon_0 \)までの順序数について解説する。 これは直感的な説明であることに注意すること。 === 第1節 \( \omega^{\omega} \)まで===* \( 1, 2, 3, \cdots \)と進んだ先には\( \omega \)がある。* \( \omega \)から再び\( \omega+1, \omega+2, \omega+3, \cdots \)と進み、\( \omega \times 2 \)に到達する。* 「無限に数える」という操作を繰り返すことで、\( \omega, \omega \times 2, \omega \times 3 \cdots \)という階層を辿ることができる。これを無限回繰り返して、\( \omega^2 \)となる。* \( \omega^2 \)からまた無限に数えると、\( \omega^2 + \omega \)である。* \( \omega^2 \)から\( \omega^2 \)の構造をもう一度数えることで、\( \omega^2 \times 2 \)となる。* \( \omega^2 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^3 \)となる。* \( \omega^3 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^4 \)となる。* \( \omega^n \)の構造を無限に積み上げて、\( \omega^{\omega} \)となる。 \( \omega^{\omega} \)未満の順序数は\( \omega \)の「多項式」のように表される。すなわち、 \( \omega^4 + \omega^3 \times 6 + \omega \times 2 + 3 \) のような形で表される。この表し方が、カントール標準形の\( \omega^{\omega} \)未満の部分である。\( \omega^{\omega} \)以上の部分については後述する。 === 第2節 大きな順序数=== * \( \omega^{\omega} \)の次の順序数は\( \omega^{\omega} + 1 \)である。* \( \omega^{\omega} \)から無限に数えた先が\( \omega^{\omega} + \omega \)である。* \( \omega^{\omega} \)からさらに\( \omega^{\omega} \)まで数えると\( \omega^{\omega} \times 2 \)である。* \( \omega^{\omega} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+1} \)である。* \( \omega^{\omega+1} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+2} \)である。* 「無限回重ねる」という操作を無限回重ねると\( \omega^{\omega \times 2} \)である。 ・・・・・・・・・ * 指数をどんどん増やしていって、えげつない無限の操作の先にあるのが\( \omega^{\omega^{\omega}} \)である。 さらに無限の階層を登って、\( \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \)と無限の指数タワーの先にあるのが\( \varepsilon_0 \)である。 ===第3節 ヒドラゲーム=== \( \varepsilon_0 \)は非常に大きな順序数であるため、そのまま扱うのは分かりにくい。そのため、visualizationが用意されている。