Wikiいけめん
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この記事では、巨大数における有限と無限について解説する。
さらに、異常系である1階を正常系とし、「カウンターの値と同じ個数のY」階にリダイレクトし、そのときのインクリメントパラメータをfalseとすれば、Yの個数がカウンターの値によって変化するため2の指数にnを入れることができ、指数関数レベルの巨大数を生み出すことができる。
==第2章 -甲 無限== 非常にわかりやすい動画(この記事と微妙に説明が違う上合計で1時間以上あるので注意): [https://t.co/Ck3Z9ecACp 前編] [https://t.co/Lk6wJEr8rQ 後編]
これらの塔の構造は、順序数と呼ばれる種類の無限を用いて表現される。
第1章の最後に紹介した「シンタックスシュガーを用いた別の例」の塔の強さは、ω^2に達する。
==第2章-乙 ハーディー階層==
順序数にはデフォルトで大小関係が入っているため、これを強さの序列とみなし、それぞれに適当な自然数へのエンコーディングを与えることにより、塔にモンスターの代わりに順序数を配置することができる。
順序数を塔に配置した場合は、インクリメントパラメータは「その順序数がα+1と表されるときtrue、そうでないときfalse」とするのが一般的である。
残りはリダイレクト規則だけであるが、このリダイレクト規則を適切に定めるのが非常に難しい。
ここまでのアイデアを数式にしたのがハーディー階層\( H \)である。
\( \alpha \)を順序数、\( n \)を自然数とする。
* \( \alpha = 0 \)のとき: \( H_0(n) = n \)
* \( \alpha = \beta + 1 \)と書けるとき: \( H_{\alpha}(n) = H_{\beta}(n + 1) \)
* それ以外のとき: \( H_{\alpha}(n) = H_{\alpha[n]}(n) \)
\( \alpha[n] \)という記号は後述する基本列という概念を表す記号である。
\( H_{\alpha}(n) \)は、「カウンターが\( n \)のときに順序数\( \alpha \)のいる階に着いた」ことを表す。また、順序数\( 0 \)は受付の人間に対応する。
===第1節 基本列===
\( n \)をカウンターの値とする。
基本列とはいい感じのリダイレクト規則である。
例えば、ω×2のリダイレクト規則として\( n \)を採用した場合、\( n \)がいくら大きくてもω以上の順序数に行くことはなく、ω2の強さが「生かし切れていない」といえる。
一方、ω×2のリダイレクト規則として\( \omega + n \)を採用した場合、ω×2以下のどんな順序数に対しても、\( n \)を大きくすればそれより大きな順序数に行く。
このように、「強さを生かし切れたリダイレクト規則」を基本列と呼ぶ。
順序数の表現(正確にはカントール標準形というものである)が・・・+ω^aであるとき、その基本列は・・・+ω^(a-1)×nとすることが多い(正確にはワイナー階層というものである)。ただし、ω^0=1、ω^1=ωである。
===第2節 具体例===
\( \begin{align*}
& H_3(5) \\
=& H_2(6) (\because 3 = 2 + 1)\\
=& H_1(7) (\because 2 = 1 + 1)\\
=& H_0(8) (\because 1 = 0 + 1)\\
=& 8
\end{align*} \)
\( \begin{align*}
& H_{\omega}(5) \\
=& H_5(5) (\because \omega = \omega^1, \omega^0 \times 5 = 1 \times 5 = 5)\\
=& H_4(6) \\
=& \cdots \\
=& 10
\end{align*} \)
\( \begin{align*}
& H_{\omega \times 2}(3) \\
=& H_{\omega + 3}(3) (\because \omega \times 2 = \omega + \omega)\\
=& H_{\omega + 2}(4) \\
=& H_{\omega + 1}(5) \\
=& H_{\omega}(6) \\
=& H_6(6) \\
=& H_5(7) \\
=& \cdots \\
=& 12
\end{align*} \)
\( \begin{align*}
& H_{\omega^2}(3) \\
=& H_{\omega \times 3}(3) \\
=& H_{\omega \times 2 + 3}(3) \\
=& H_{\omega \times 2 + 2}(4) \\
=& H_{\omega \times 2 + 1}(5) \\
=& H_{\omega \times 2}(6) \\
=& H_{\omega + 6}(6) \\
=& \cdots \\
=& H_{\omega}(12) \\
=& H_{12}(12) \\
=& \cdots \\
=& 24
\end{align*} \)
==第2章-丙 カントール標準形==
ここでは、\( \varepsilon_0 \)までの順序数について解説する。
これは直感的な説明であることに注意すること。
=== 第1節 \( \omega^{\omega} \)まで===
* \( 1, 2, 3, \cdots \)と進んだ先には\( \omega \)がある。
* \( \omega \)から再び\( \omega+1, \omega+2, \omega+3, \cdots \)と進み、\( \omega \times 2 \)に到達する。
* 「無限に数える」という操作を繰り返すことで、\( \omega, \omega \times 2, \omega \times 3 \cdots \)という階層を辿ることができる。これを無限回繰り返して、\( \omega^2 \)となる。
* \( \omega^2 \)からまた無限に数えると、\( \omega^2 + \omega \)である。
* \( \omega^2 \)から\( \omega^2 \)の構造をもう一度数えることで、\( \omega^2 \times 2 \)となる。
* \( \omega^2 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^3 \)となる。
* \( \omega^3 \)の構造を無限に数えることで、\( \omega^4 \)となる。
* \( \omega^n \)の構造を無限に積み上げて、\( \omega^{\omega} \)となる。
\( \omega^{\omega} \)未満の順序数は\( \omega \)の「多項式」のように表される。すなわち、
\( \omega^4 + \omega^3 \times 6 + \omega \times 2 + 3 \)
のような形で表される。この表し方が、カントール標準形の\( \omega^{\omega} \)未満の部分である。\( \omega^{\omega} \)以上の部分については後述する。
=== 第2節 大きな順序数===
* \( \omega^{\omega} \)の次の順序数は\( \omega^{\omega} + 1 \)である。
* \( \omega^{\omega} \)から無限に数えた先が\( \omega^{\omega} + \omega \)である。
* \( \omega^{\omega} \)からさらに\( \omega^{\omega} \)まで数えると\( \omega^{\omega} \times 2 \)である。
* \( \omega^{\omega} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+1} \)である。
* \( \omega^{\omega+1} \)を無限回重ねると\( \omega^{\omega+2} \)である。
* 「無限回重ねる」という操作を無限回重ねると\( \omega^{\omega \times 2} \)である。
・・・・・・・・・
* 指数をどんどん増やしていって、えげつない無限の操作の先にあるのが\( \omega^{\omega^{\omega}} \)である。
さらに無限の階層を登って、\( \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \)と無限の指数タワーの先にあるのが\( \varepsilon_0 \)である。
===第3節 ヒドラゲーム===
\( \varepsilon_0 \)は非常に大きな順序数であるため、そのまま扱うのは分かりにくい。そのため、visualizationが用意されている。
==第3章 非可算順序数==
[ここにやばいやつを挿入]
[待った、本気でここまでやるつもりなのか?]