Wikiいけめん
217
回編集
差分
全セクション埋まった...あとはマイナーチェンジだ......
が存在するからである。同様に、\( O_{\omega+2}, O_{\omega2} \)なども基数ではない。
濃度\( \aleph_1 \)に対応する基数を[共終数の定義と例を挿入https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E7%AC%AC%E4%B8%80%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 第一非可算順序数]といい、\( \Omega \)や\( \omega_1 \)で表す。 同様に、\( \aleph_2, \aleph_3 \cdots \)に対して\( \Omega_2, \Omega_3, \cdots \)が存在する。また、\( \aleph_{\omega} \)に対応する基数は\( \Omega_{\omega} \)である。 \( \Omega \)は順序数であるから、\( \aleph_{\Omega} \)という濃度が存在し、それに伴って\( \Omega_{\Omega} \)も存在する。一般に、任意の順序数\( \alpha \)に対して基数\( \Omega_{\alpha} \)が存在する。 ===第2節 共終数===順序数\( \alpha \)に対し、その'''共終数'''\( \mathrm{cof}(\alpha) \)を以下で定義する。 * \( \alpha = 0 \)のとき\( \mathrm{cof}(0) = 0 \)* \( \alpha = \beta + 1 \)のとき\( \mathrm{cof}(\beta + 1) = 1 \)* \( \alpha \)が極限順序数のとき、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \kappa} f(\beta)} = \alpha \)となるような基数\( \kappa \)と\( f \)を考える。このとき、\( f \)が何であろうと\( \kappa \)は同じ順序数となる。この\( \kappa \)を\( \mathrm{cof}(\alpha) \)とする。 多くの極限順序数において、その共終数は\( \omega \)である。たとえば、\( f (\beta) = \beta \)とすると、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \omega \)であるから、\( \mathrm{cof}(\omega) = \omega \)である。また、\( f (\beta) = \omega + \beta \)とすると、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \omega2 \)であるから、\( \mathrm{cof}(\omega2) = \omega \)である。 \( \Omega \)の共終数は\( \Omega \)である。すなわち、\( \displaystyle{\lim_{\beta < \omega} f(\beta)} = \Omega \)となるような順序数の関数\( f \)は存在しない。一般に、後続順序数\( \alpha \)に対し\( \Omega_{\alpha} \)の共終数はそれ自身である。 このように、共終数がそれ自身である順序数を'''正則基数'''という。共終数の定義から、正則基数は明らかに基数である。 全ての基数が正則順序数であるわけではない。たとえば、\( f(\beta) = \Omega_{\beta} \)とおくことにより、\( \mathrm{cof}(\Omega_{\omega}) = \omega \)であることがわかる。
==第3章 到達不能基数==
出典: [https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0 巨大数研究Wiki「到達不能基数」]
順序数\( \alpha \)が到達不能基数であるとは、次の3つの条件を満たすことである。
* \( \alpha \geq \Omega \)である。
* \( \alpha \)は正則である。すなわち、\( \alpha \)の共終数は\( \alpha \)である。
* \( \alpha = \Omega_{\beta} \)となるような\( \beta \)が存在し、その\( \beta \)は極限順序数である。<ref>この記事ではGCHを仮定しているため、3番目はアレフ数でもベート数でも同じことである。</ref>
最小の到達不能基数は記号\( I \)で表される。
==脚注==
<references />