差分

'''集合'''(set)とは「ものの集まり」を意味している。この集められる対象となる「もの」を集合の要素あるいは単に元とは「ものの集まり」を意味している。この集められる対象となる「もの」を集合の要素あるいは単に'''元'''(element)という。(以下、元で統一する。)

また、元が1つもないような集合のことを空集合といい、また、元が1つもないような集合のことを'''空集合'''(empty set)といい、$$\emptyset$$と表現する。

このとき、集合を$$X$$、$$X$$の元を$$x$$としたとき、$$x$$ が集合 が$$X$$の元であることを、$$x \in X$$ 、あるいは$$x$$が集合が$$X$$の元でないことを、$$x \notin X$$と表し、こうした集合の元と、元が含まれる集合との関係を帰属関係という。

集合$$X$$の全ての元 の全ての$$x$$が別の集合$$Y$$の元であるような関係( $$x \in X, x \in Y$$)を、$$X \subset Y$$, あるいは$$X \subseteq Y$$と表現し、このような集合同士の関係を包含関係と言い、この関係における集合$$X$$は、集合$$Y$$の部分集合の'''部分集合'''(subset) $$X$$という。また$$x \in X$$であり$$ X \neq Y$$となるような包含関係を真部分集合という。となるような包含関係を'''真部分集合'''(proper subset)という。

このとき、$$x$$が$$A, B$$の元のいずれかであるような集合を和集合といい、次のように表す。の元のいずれかであるような集合を'''和集合'''といい、次のように表す。

また　$$x$$　が$$A$$と$$B$$の共通の元であるような集合を共通集合といい、次のように表す。の共通の元であるような集合を'''共通集合'''いい、次のように表す。

このような、和集合$$A \cup B$$は、AとBの「結び」と呼び、共通集合は、AとBの「'''結び'''」(join)と呼び、共通集合$$A \cap B$$は、AとBの「交わり」と呼ぶ。は、AとBの「'''交わり'''」(meet)と呼ぶ。

$$A \cap B = \emptyset$$のとき、AとBは互いに素である。このときののとき、AとBは'''互いに素'''である。このときの$$A \cup B$$を$$A + B$$と表すことができ、これを$$A$$と$$B$$の直和という。の'''直和'''という。

元 $$x$$が2つの部分集合が2つの$$A, B$$に対して、$$A$$のみの元であるような集合を差集合、またこのときの集合のみの元であるような集合を'''差集合'''、またこのときの$$B$$を集合を$$A$$に関する補集合に関する'''補集合'''$$B^\complement$$と言い、以下のように表すことができる。

$$B^\complement = A \setminus B \equiv \{x \in X U | x \in A, x \notin B\}$$