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差分
==はじめに==
高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。
そのためここでは微分積分学との関係がわかりやすくなるよう数列を $$a_n$$ といった表記ではなく $$f(x)$$ という表記にする。
極限を扱う微分積分よりも以下に述べる和分差分は直感的に分かりやすい為、数列だけでなく微分積分の見方も変わるかも知れない。
となるので、両辺和分をとって整理すると$a\ne1$のとき
:$$\displaystyle\sum a^x\delta=\frac{a^x}{a-1}$$
となる。
高校数学で見慣れた等比数列の和の公式もここから導出できる。
:$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nar^{k-1}&=\sum\nolimits_1^{n+1}ar^{x-1}\,\delta x\\
&=\left[a\frac{r^{x-1}}{r-1}\right]_1^{n+1}\\
&=a\frac{r^n}{r-1}-a\frac{1}{r-1}\\
&=a\frac{r^n-1}{r-1}
\end{align*}$$
===積の差分と部分和分===