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差分
==はじめに==
高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。
そのためここでは微分積分学との関係がわかりやすくなるよう数列を $$a_n$$ といった表記ではなく $$f(x)$$ という表記にする。
極限を扱う微分積分よりも以下に述べる和分差分は直感的に分かりやすい為、数列だけでなく微分積分の見方も変わるかも知れない。
\end{align*}$$
となり、和分差分学の基本定理より
:$$\displaystyle{\sum x^{\underline n}\,\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}}+\text{const.}C$$
が従う。
<ref group="注">下降階乗は整数全体にも拡張できる。ただし上式が成立するのは $$n\neq -1$$ であることに注意する。</ref>
\end{align*}}$$
など $$n$$ 乗の和の公式を導くことができる。
===指数関数（等比数列）===
指数関数$a^x$の差分は
:$$\begin{align*}
\Delta a^x&=a^{x+1}-a^x\\
&=(a-1)a^x
\end{align*}$$
となるので、両辺和分をとって整理すると$a\ne1$のとき
:$$\displaystyle\sum a^x\delta=\frac{a^x}{a-1}$$
となる。
高校数学で見慣れた等比数列の和の公式もここから導出できる。
:$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nar^{k-1}&=\sum\nolimits_1^{n+1}ar^{x-1}\,\delta x\\
&=\left[a\frac{r^{x-1}}{r-1}\right]_1^{n+1}\\
&=a\frac{r^n}{r-1}-a\frac{1}{r-1}\\
&=a\frac{r^n-1}{r-1}
\end{align*}$$
===積の差分と部分和分===
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^b f(x)\Delta g(x)\,\delta x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\sum\nolimits_a^b g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$
を導ける。
実際に積の和分を使用して高校数学でお馴染みの和を求めてみる。
:$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nk2^k&=\sum\nolimits_1^{n+1} x2^x\,\delta x\\
&=\sum\nolimits_1^{n+1} x\Delta2^x\,\delta x\\
&=\left[x2^x\right]_1^{n+1}-\sum\nolimits_1^{n+1} 2^{x+1}\Delta x\,\delta x\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-\sum\nolimits_1^{n+1} 2^{x+1}\,\delta x\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-[2^{x+1}]_1^{n+1}\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-(2^{n+2}-4)\\
&=(n-1)2^{n+1}+2
\end{align*}$$
==注==
<references group="注"/>