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差分
==はじめに==
高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。
そのためここでは微分積分学との関係がわかりやすくなるよう数列を $$a_n$$ といった表記ではなく $$f(x)$$ という表記にする。
極限を扱う微分積分よりも以下に述べる和分差分は直感的に分かりやすい為、数列だけでなく微分積分の見方も変わるかも知れない。
関数 $$f(x)$$ に対して
:$$\displaystyle{\frac d{dx}Delta f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h1)-f(x)}h}$$ なる $$\Delta f(x)$$ を $$f(x)$$ の'''差分'''と呼ぶ。 これは高校数学では階差数列と呼ばれるものである。
==積分法と和分法==
:[[File:Piecewise quadrature.png|400px]]
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$
で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの'''定和分'''と呼び、上図の灰色の部分の面積を表す。
なお、終点 $$b$$ は含まれないことに注意する。
===不定積分と不定和分===
:$$\displaystyle{\frac d{dx}\int f(x)\,dx=f(x)}$$
を満たす $$\int f(x)\,dx$$ を $$f(x)$$ の不定積分と呼んだが、差分の逆演算をしたもの、すなわちの不定積分と呼ぶ。 ==和分差分学の基本定理== :$$\displaystyle{\begin{align*}\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t&=\Delta\sum_{n=a}^{x-1}f(n)\\&=\sum_{n=a}^{x}f(n)-\sum_{n=a}^{x-1}f(n)\\&=\{f(x)+f(x-1)+\cdots+f(a)\}-\{f(x-1)+f(x-2)+\cdots+f(a)\}\\&=f(x)\end{align*}}$$ より
:$$\displaystyle{\Delta \sum f\nolimits_a^xf(xt)\,\delta t=f(x)}$$
:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$
==和分差分の性質==
:$$\displaystyle{\Delta kf(x)=k\Delta f(x)}$$
:$$\displaystyle{\Delta\{f(x)+g(x)\}=\Delta f(x)+\Delta g(x)}$$
:$$\displaystyle{\sum kf(x)\,\delta x=k\sum f(x)\,\delta}$$:$$\displaystyle{\sum \{f(x)+g(x)\}\,\delta x=\sum f(x)\,\delta x+\sum g(x)\,\delta x}$$
===下降階乗===
\end{align*}$$
となり、和分差分学の基本定理より
:$$\displaystyle{\sum x^{\underline n}\,\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}}+C$$
が従う。
<ref group="注">下降階乗は整数全体にも拡張できる。ただし上式が成立するのは $$n\neq -1$$ であることに注意する。</ref>
:$$\displaystyle{\begin{align*}
\sum_{x=1}^nx^2
&=\sum\nolimits_1^{n+1}x^2\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x(x-1)+x\}\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x^{\underline2}+x^{\underline1}\}\,\delta x\\
&=\left[\frac{x^{\underline3}}3+\frac{x^{\underline2}}2\right]_1^{n+1}\\
&=\frac16n(n+1)(2n+1)
\end{align*}}$$
など $$n$$ 乗の和の公式を導くことができる。
===指数関数（等比数列）===
指数関数$a^x$の差分は
:$$\begin{align*}
\Delta a^x&=a^{x+1}-a^x\\
&=(a-1)a^x
\end{align*}$$
となるので、両辺和分をとって整理すると$a\ne1$のとき
:$$\displaystyle\sum a^x\delta=\frac{a^x}{a-1}$$
となる。
高校数学で見慣れた等比数列の和の公式もここから導出できる。
:$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nar^{k-1}&=\sum\nolimits_1^{n+1}ar^{x-1}\,\delta x\\
&=\left[a\frac{r^{x-1}}{r-1}\right]_1^{n+1}\\
&=a\frac{r^n}{r-1}-a\frac{1}{r-1}\\
&=a\frac{r^n-1}{r-1}
\end{align*}$$
===積の差分と部分和分===
\end{align*}}$$
となり、両辺を和分し整理することによって部分和分
:$$\displaystyle{\sum f(x)\Delta g(x)\,\delta x=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^b f(x)\Delta g(x)\,\delta x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\sum\nolimits_a^b g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$
を導ける。
実際に積の和分を使用して高校数学でお馴染みの和を求めてみる。
:$$\begin{align*}
\sum_{k=1}^nk2^k&=\sum\nolimits_1^{n+1} x2^x\,\delta x\\
&=\sum\nolimits_1^{n+1} x\Delta2^x\,\delta x\\
&=\left[x2^x\right]_1^{n+1}-\sum\nolimits_1^{n+1} 2^{x+1}\Delta x\,\delta x\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-\sum\nolimits_1^{n+1} 2^{x+1}\,\delta x\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-[2^{x+1}]_1^{n+1}\\
&=(n+1)2^{n+1}-2-(2^{n+2}-4)\\
&=(n-1)2^{n+1}+2
\end{align*}$$
==注==
<references group="注"/>