差分

:$$\displaystyle{\frac d{dx}Delta f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+1)-f(x)}h}$$

なる $$\frac d{dx}Delta f(x)$$ が を $$f(x)$$ の微分であった。の'''差分'''と呼ぶ。

なお微分積分学では :$$\displaystyle{\Delta frac d{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+1h)-f(x)}h}$$ なる $$\frac d{dx}f(x)$$ を $$f(x)$$の微分と呼ぶ。

となる。このときここで $$h\Delta f(x)to0$$をという極限を取るのではなく $$f(x)h=1$$の'''差分'''と呼ぶ。<ref group="注">階差数列とも呼ばれる。</ref>と固定したものが差分であるという見方もできる。

また、微分と同様に また、差分は微分と同様に $$f(x)$$ の定数項は $$\Delta f(x)$$ に関係がないことは微分よりも明確にわかる。

:[[File:Riemann IntegrationPiecewise quadrature.png|thumb|CC 表示 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=402063400px]]関数 $$f(x)$$ に対して

で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの'''定和分'''と呼び、右図の灰色の部分の面積を表す。と呼び、上図の灰色の部分の面積を表す。<ref group="注">終点 なお、終点 $$b$$ は含まれないことに注意する。</ref>

この時右図の長方形の横幅はそれぞれ この時上図の長方形の横幅はそれぞれ $$1$$ であるが、この幅の $$0$$ への極限をとった時の面積が

微分の逆演算をしたもの、すなわち差分の逆演算をしたもの、すなわち :$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$ を満たす $$\sum f(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。 上述の通り差分は元の関数の定数項に関係ないため、不定和分は不定積分と同様に和分定数が生じる。<ref group="注">和分定数は定数だけでなく周期が $$\frac1n$$ の周期関数も含まれる。</ref> なお微分積分学では微分の逆演算をしたもの、すなわち

を満たす $$\int f(x)\,dx$$ を $$f(x)$$ の不定積分と呼んだが、差分の逆演算をしたもの、すなわちの不定積分と呼ぶ。

:$$\displaystyle{\Delta \sum f(x)\,\delta x=f(x)}$$=和分差分学の基本定理==

を満たす :$$\displaystyle{\begin{align*}\Delta\sum f\nolimits_a^xf(xt)\,\delta t&=\Delta\sum_{n=a}^{x$$ を $$-1}f(n)\\&=\sum_{n=a}^{x}f(n)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。-\sum_{n=a}^{x-1}f(n)\\<ref group&="注">逆差分 $$\Delta^{f(x)+f(x-1)+\cdots+f(a)\}-\{f(x-1)+f(x-2)+\cdots+f(a)\}\\&=f(x)\end{align*}}$$ と表されることもある。</ref>

すなわち となる。 また、$$F(x)=\sum f(x)\,\delta x$$ とした時とした時、上で示した式と前節の不定和分の定義より :$$\displaystyle{F(x)=\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t+C}$$ となり、

が成立する。が成立する。前節のグラフを見ても明らかである。 これらは微分積分学の基本定理に対応する。 ==和分差分の性質=====線形性===:$$\displaystyle{\Delta kf(x)=k\Delta f(x)}$$:$$\displaystyle{\Delta\{f(x)+g(x)\}=\Delta f(x)+\Delta g(x)}$$:$$\displaystyle{\sum kf(x)\,\delta x=k\sum f(x)\,\delta}$$:$$\displaystyle{\sum \{f(x)+g(x)\}\,\delta x=\sum f(x)\,\delta x+\sum g(x)\,\delta x}$$ ===下降階乗===正の整数 $$n$$ に対して下降階乗 $$x^{\underline n}$$ を:$$x^{\underline n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)$$と定義する。 差分をとると:$$\begin{align*}\Delta x^{\underline n}&=(x+1)x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)-x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\\&=\{(x+1)-(x-n+1)\}x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+2)\\&=nx^{\underline{n-1}}\end{align*}$$となり、和分差分学の基本定理より:$$\displaystyle{\sum x^{\underline n}\,\delta x=\frac{x^{\underline{n+1}}}{n+1}}+C$$が従う。<ref group="注">下降階乗は整数全体にも拡張できる。ただし上式が成立するのは $$n\neq -1$$ であることに注意する。</ref>これは $$x^n$$ の微分積分に対応する。 またこの性質を用いると、:$$\displaystyle{\begin{align*}\sum_{x=1}^nx^2&=\sum\nolimits_1^{n+1}x^2\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x(x-1)+x\}\,\delta x\\&=\sum\nolimits_1^{n+1}\{x^{\underline2}+x^{\underline1}\}\,\delta x\\&=\left[\frac{x^{\underline3}}3+\frac{x^{\underline2}}2\right]_1^{n+1}\\&=\frac16n(n+1)(2n+1)\end{align*}}$$など $$n$$ 乗の和の公式を導くことができる。 ===指数関数（等比数列）===指数関数$a^x$の差分は :$$\begin{align*}\Delta a^x&=a^{x+1}-a^x\\&=(a-1)a^x\end{align*}$$ となるので、両辺和分をとって整理すると$a\ne1$のとき :$$\displaystyle\sum a^x\delta=\frac{a^x}{a-1}$$ となる。 高校数学で見慣れた等比数列の和の公式もここから導出できる。 :$$\begin{align*}\sum_{k=1}^nar^{k-1}&=\sum\nolimits_1^{n+1}ar^{x-1}\,\delta x\\&=\left[a\frac{r^{x-1}}{r-1}\right]_1^{n+1}\\&=a\frac{r^n}{r-1}-a\frac{1}{r-1}\\&=a\frac{r^n-1}{r-1}\end{align*}$$ ===積の差分と部分和分===積の微分に対して積の差分は:$$\displaystyle{\begin{align*}\Delta\{f(x)g(x)\}&=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)\\&=f(x)g(x+1)-f(x)g(x)+f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x+1)\\&=f(x)\Delta g(x)+g(x+1)\Delta f(x)\end{align*}}$$となり、両辺を和分し整理することによって部分和分:$$\displaystyle{\sum f(x)\Delta g(x)\,\delta x=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$:$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^b f(x)\Delta g(x)\,\delta x=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\sum\nolimits_a^b g(x+1)\Delta f(x)\,\delta x}$$を導ける。 実際に積の和分を使用して高校数学でお馴染みの和を求めてみる。