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差分
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この記事は主に高校数学においての数列と微分積分法の分野の関係についての'''現在編集中の'''独自研究である。極限を扱う微分積分よりも以下に述べる和分差分は直感的に分かりやすい為、数列だけでなく微分積分の見方も変わるかも知れない。
これは高校数学においての階差数列にあたる。<ref group="注">階差数列とも呼ばれる。</ref> また、微分と同様に $$f(x)$$ の定数項は $$\Delta f(x)$$ に関係がないことは微分よりも明確にわかる。
この時画像の長方形の横幅はそれぞれ この時右図の長方形の横幅はそれぞれ $$1$$ であるが、この幅の $$0$$ への極限をとった時の面積が
であり、これは であり、 $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの定積分と呼ぶ。までの定積分である。
を満たす $$\displaystyle{\sum_xf(x)}$$ を$$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。==注==<references group="注"/>
編集の要約なし
{{独自研究|[[利用者:がーと|がーと]] ([[利用者・トーク:がーと|トーク]])}}
この記事は主に高校数学においての数列と微分積分法の分野の関係についての独自研究である。
==はじめに==
高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。
==微分法と差分法==
となる。
このとき$$\Delta f(x)$$を$$f(x)$$の'''差分'''と呼ぶ。
==積分法と和分法==
===定積分と定和分===
:[[File:Riemann Integration.png|thumb|CC 表示 2.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=402063]]
関数 $$f(x)$$ に対して
$$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x=\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$
で表される $$\sum\nolimits_a^bf(x)\,\delta x$$ を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b-1$$ までの'''定和分'''と呼び、画像の灰色の部分の面積を表す。と呼び、右図の灰色の部分の面積を表す。<ref group="注">終点 $$b$$ は含まれないことに注意する。</ref>
$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$$
===不定積分と不定和分===
差分の逆演算をしたもの、すなわち $$\displaystyle{\Delta \sum_xfsum f(x)\,\delta x=f(x)}$$ を満たす $$\displaystyle{\sum f(x)\,\delta x}$$ を$$f(x)$$ の'''不定和分'''と呼ぶ。<ref group="注">逆差分 $$\Delta^{-1}f(x)$$ と表されることもある。</ref> 上述の通り差分は元の関数の定数項に関係ないため、不定和分は不定積分と同様に定数項が任意定数となる。 ==和分差分学の基本定理==$$\displaystyle{\Delta\sum\nolimits_a^xf(t)\,\delta t=f(x)}$$ すなわち $$F(x)=\sum f(x)\,\delta x$$ とした時 $$\displaystyle{\sum\nolimits_a^bf(t)\,\delta t=F(b)-F(a)}$$ が成立する。 これは微分積分学の基本定理に対応する。
