数列と微分積分

高校数学では数列と関数は全くの別物のように扱われているが、数列も主に自然数に対して定義されている歴とした関数である。

この記事では主に高校数学においての数列と微分積分法の分野の関係についての現在編集中の独自研究である。

微分法と差分法

関数 $$f(x)$$ に対して

$$\displaystyle{\frac d{dx}f(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+1)-f(x)}h}$$

なる $$\frac d{dx}f(x)$$ が $$f(x)$$ の微分であった。

ここで $$h\to0$$ という極限を取るのではなく $$h=1$$ と固定すると

$$\displaystyle{\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)}$$

となる。 このとき$$\Delta f(x)$$を$$f(x)$$の差分と呼ぶ。 これは高校数学においての階差数列にあたる。

積分法と和分法

定積分と定和分

ファイル:Riemann Integration.png

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関数 $$f(x)$$ に対して

$$\displaystyle{\sum_{x=a}^{b-1}f(x)}$$

を $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b-1$$ までの定和分と呼び、画像の灰色の部分の面積を表す。

この時画像の長方形の横幅はそれぞれ $$1$$ であるが、この幅の $$0$$ への極限をとった時の面積が

$$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx}$$

であり、これは $$f(x)$$ の $$a$$ から $$b$$ までの定積分と呼ぶ。

不定積分と不定和分

$$\displaystyle{\Delta \sum_xf(x)=f(x)}$$

を満たす $$\displaystyle{\sum_xf(x)}$$ を$$f(x)$$ の不定和分と呼ぶ。