入試「物理」での計算のソースを表示

これは[[大学入試と「物理」]]においてよく使われる計算や数学的知識をまとめたものである。

==定義など==
===速度と加速度===
\begin{eqnarray*}
\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}
(\text{速度})& \bm{v}&:=&\dot{\bm{x}}\\
(\text{加速度})&  \bm{a}&:=&\dot{\bm{v}}
\end{eqnarray*}

==微積分==
\[\frac{dy}{dx}==a
\\\Leftrightarrow y=ax+C\]
\[\frac{d^2y}{dx^2}==a
\\\Leftrightarrow y=\frac12ax^2+Ax+B\]
----
\[\newcommand{\bm}[1]{\boldsymbol{#1}}
\int \ddot{\bm{y}}\cdot d\bm{y} = \frac12 |\dot{\bm{y}}|^2 + \text{const.}\]

==微分方程式==
\(y\) は \(x\) の関数とする。

===斉次線型常微分方程式===
====1階====
\[y'==ay\]
の一般解は
\begin{eqnarray*}
y=Ae^{ax}
\end{eqnarray*}
とおける。
====2階====
\[y''+\omega^2y==0\]
の一般解は
\begin{eqnarray*}
y &=& A\cos\omega x +B\sin\omega x\\
&=& C\cos(\omega x+\theta)
\end{eqnarray*}
とおける。
----
また、
\[y''-\omega^2y==0\]
の一般解は
\begin{eqnarray*}
y &=& Ae^{\omega x} +Be^{-\omega x}
\end{eqnarray*}
とおける。
====n階====
一般に
\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y==0\]
の一般解は、
\[a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0==0\]
の解が \(x=\alpha_n,\alpha_{n-1},\cdots,\alpha_1\) だとして、
\[y=A_ne^{\alpha_n x}+
A_{n-1}e^{\alpha_{n-1} x}+\cdots+
A_1e^{\alpha_1 x}\]
とおける。

===非斉次線型常微分方程式===
\(y^{(0)}=y\) とする。
\[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=f(x)\]
これの一般解は、この特殊解 \(g(x)\)と
\[\sum_{k=0}^na_ky^{(k)}=0\]
の一般解 \(G(x)\) を用いて
\[y=G(x)+g(x)\]
と表せる。

==ベクトル解析==
ある閉曲面 \(S\) に囲まれた領域 \(V\) において、
\[\int_V \div \bm A dv= \int_S \bm A \cdot d\bm s\]

ある閉曲線 \(C\) に囲まれた曲面 \(S\) において、
\[\int_S \operatorname{rot} \bm A\cdot d\bm s= \int_C \bm A\cdot d\bm l\]